Que peut-on dire de la fonction f(x) = \frac{1}{3 x^{2} - 4} ?
Une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I . On commence donc par dériver f :
Ici :
f(x) = \dfrac{1}{u(x)}
avec u(x) = 3x^2 - 4 , d'où u'(x) = 6 x .
Or :
\left( \dfrac{1}{u(x)} \right)' = - \dfrac{u'(x)}{u^2(x)}
On peut donc dériver :
f'(x) = - \frac{6 x}{\left(3 x^{2} - 4\right)^{2}}
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( - \frac{6 x}{\left(3 x^{2} - 4\right)^{2}} \right)'
f''(x) = \frac{6 \left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{\left(3 x^{2} - 4\right)^{2}}
f''(x) = \frac{6 \left(\frac{12 x^{2} - 3x^2 + 4}{3 x^{2} - 4} \right)}{\left(3 x^{2} - 4\right)^{2}}
f''(x) = \frac{6 \left(\frac{9x^2 + 4}{3 x^{2} - 4} \right)}{\left(3 x^{2} - 4\right)^{2}}
f est convexe si f''(x) \geq 0 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{6 \left(\frac{9x^2 + 4}{3 x^{2} - 4} \right)}{\left(3 x^{2} - 4\right)^{2}} \geq 0
On a :
9x^2 + 4 > 0 , \left(3 x^{2} - 4\right)^{2} > 0
Donc f'' est du signe de 3 x^{2} - 4 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \left]-\infty; -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right[ \cup \left] \dfrac{2\sqrt{3}}{3} ; +\infty \right[
La fonction x \mapsto \frac{6 \left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{\left(3 x^{2} - 4\right)^{2}} est positive sur \left]-\infty; -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right[ \cup \left] \dfrac{2\sqrt{3}}{3} ; +\infty \right[ et négative sur \left]-\dfrac{2\sqrt{3}}{3} ; \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right[ .
Ainsi, f est convexe sur \left]-\infty; -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right[ \cup \left] \dfrac{2\sqrt{3}}{3} ; +\infty \right[ et concave sur \left]-\dfrac{2\sqrt{3}}{3} ; \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right[ .
Que peut-on dire de la fonction f(x) = \left(2 x - 1\right)^{4} ?
Une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I . On commence donc par dériver f :
Ici :
f(x) = (u(x))^n
avec u(x) = 2x - 1 , d'où u'(x) = 2 .
Or :
\left( (u(x))^n \right)' = n \times u'(x) \times u(x)^{n-1}
On peut donc dériver :
f'(x) = 8 \left(2 x - 1\right)^{3}
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( 8 \left(2 x - 1\right)^{3} \right)'
f''(x) = 48 \left(2 x - 1\right)^{2}
f est convexe si f''(x) \geq 0 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow 48 \left(2 x - 1\right)^{2} \geq 0
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}
La fonction x \mapsto 48 \left(2 x - 1\right)^{2} est positive sur \mathbb{R} et jamais négative.
Ainsi, f est convexe sur \mathbb{R} .
Que peut-on dire de la fonction f(x) = \sqrt{4 - x} ?
Une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I . On commence donc par dériver f :
Ici :
f(x) = \sqrt{u(x)}
avec u(x) = 4 - x , d'où u'(x) = -1 .
Or :
\sqrt{u(x)}' = \dfrac{u'(x)}{2 \sqrt{u(x)}}
On peut donc dériver :
f'(x) = - \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( - \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}} \right)'
f''(x) = - \frac{1}{4 \left(4 - x\right)^{\frac{3}{2}}}
f est convexe si f''(x) \geq 0 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{4 \left(4 - x\right)^{\frac{3}{2}}} \geq 0
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \varnothing
La fonction x \mapsto - \frac{1}{4 \left(4 - x\right)^{\frac{3}{2}}} est négative sur ]-\infty; 4] .
Ainsi, f est concave sur ]-\infty; 4] .
Que peut-on dire de la fonction f(x) = \frac{1}{\exp(x)} ?
Une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I . On commence donc par dériver f :
Ici :
f(x) = \dfrac{1}{u(x)}
avec u(x) = exp(x) , d'où u'(x) = e^{x} .
Or :
\left( \dfrac{1}{u(x)} \right)' = - \dfrac{u'(x)}{u^2(x)}
On peut donc dériver :
f'(x) = - \dfrac{e^x}{(e^x)^2} = - \dfrac{1}{e^x} = - e^{- x}
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = (- e^{- x})' = \left( - e^{- x} \right)'
f''(x) = e^{- x}
f est convexe si f''(x) \geq 0 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow e^{- x} \geq 0
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}
La fonction x \mapsto e^{- x} est positive sur \mathbb{R} .
Ainsi, f est convexe sur \mathbb{R} .
Que peut-on dire de la fonction f(x) = \sin^{2}{\left(x \right)} ?
Une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I .
f est périodique de période 2 \pi . On détermine donc sa convexité sur l'intervalle \left[0; 2\pi\right] .
On commence donc par dériver f :
Ici :
f(x) = u(x)^2
avec u(x) = \text{sin}(x) , d'où u'(x) = \cos{\left(x \right)} .
Or :
\left( (u(x))^n \right)' = n \times u'(x) \times u(x)^{n-1}
On peut donc dériver :
f'(x) = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \right)'
f''(x) = 2 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)
f est convexe si f''(x) \geq 0 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow 2 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \geq 0
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow 2 \cos(2x) \geq 0
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \left[ 0; \dfrac{\pi}{4} \right] \cup \left[ \dfrac{3\pi}{4}; \pi \right]
La fonction x \mapsto 2 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) est positive sur \left[ 0; \dfrac{\pi}{4} \right] \cup \left[ \dfrac{3\pi}{4}; \pi \right] et négative sur \left[ \dfrac{\pi}{4}; \dfrac{3\pi}{4} \right] .
Ainsi, f est convexe sur \left[ 0; \dfrac{\pi}{4} \right] \cup \left[ \dfrac{3\pi}{4}; \pi \right] et concave sur \left[ \dfrac{\pi}{4}; \dfrac{3\pi}{4} \right] .