Calculer la dérivée seconde d'une fonction usuelle Exercice

Pour calculer la dérivée seconde d'une fonction, on commence par calculer sa dérivée première, et on dérive une nouvelle fois.

f'(x) = - \frac{1}{x^{2}}

Donc :
f''(x) = \left( - \frac{1}{x^{2}} \right)'

On sait que :
\left( \dfrac{1}{u(x)} \right)' = - \dfrac{u'(x)}{u^2(x)}

Donc :
f''(x) = \left( - \frac{1}{x^{2}} \right)' = -\left( \frac{1}{x^{2}} \right)'

Avec u(x) = x^2 , donc u'(x) = 2x .

f''(x) = - \left( \dfrac{2x}{(x^2)^2} \right) = \frac{2}{x^{3}}

La fonction x \mapsto \frac{2}{x^{3}} est définie sur \mathbb{R}^* , donc le domaine de la dérivée seconde de f est \mathbb{R}^* .

Pour calculer la dérivée seconde d'une fonction, on commence par calculer sa dérivée première, et on dérive une nouvelle fois.

Or, on a (x^n)' = n \times x^{n-1}, n \in \mathbb{Z} .

Donc :
f'(x) = 2 x - 3

Et :
f''(x) = \left( 2 x - 3 \right)'
f''(x) = 2

La fonction x \mapsto 2 est définie sur \mathbb{R} , donc le domaine de la dérivée seconde de f est \mathbb{R} .

Pour calculer la dérivée seconde d'une fonction, on commence par calculer sa dérivée première, et on dérive une nouvelle fois.

Or, on a \sqrt{x}' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} .

Donc :
f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

Et :
\left( \dfrac{1}{u(x)} \right)' = - \dfrac{u'(x)}{u^2(x)}

Comme u(x) = 2 \sqrt{x} , on a :
u'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}

Donc :
f''(x) = \left( \frac{1}{2 \sqrt{x}} \right)'
f''(x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}

La fonction x \mapsto - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} est définie sur \mathbb{R}_+^* , donc le domaine de la dérivée seconde de f est \mathbb{R}_+^* .

Pour calculer la dérivée seconde d'une fonction, on commence par calculer sa dérivée première, et on dérive une nouvelle fois.

On a \exp(x)' = \exp(x) .

Donc :
f'(x) = e^{x}

Et une nouvelle fois :
f''(x) = \left( e^{x} \right)'
f''(x) = e^{x}

La fonction x \mapsto e^{x} est définie sur \mathbb{R}, donc le domaine de la dérivée seconde de f est \mathbb{R} .

Pour calculer la dérivée seconde d'une fonction, on commence par calculer sa dérivée première, et on dérive une nouvelle fois.

On a :
f'(x) = \left(sin(x) \right)' = \cos{\left(x \right)}

Et :
f''(x) = \left( \cos{\left(x \right)} \right)'
f''(x) = - \sin{\left(x \right)}

La fonction x \mapsto - \sin{\left(x \right)} est définie sur \mathbb{R} , donc le domaine de la dérivée seconde de f est \mathbb{R} .