Etudier la convexité d’une fonction composée Problème

f est une fonction fractionnaire, elle est définie si son dénominateur est différent de zéro.

Or :
3x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow 3x^2 = 4 
3x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{4}{3} 
3x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x = -\sqrt{\dfrac{4}{3}} ou x = \sqrt{\dfrac{4}{3}}

Ici :
f(x) = \dfrac{1}{u(x)}

avec u(x) = 3x^2 - 4 , d'où u'(x) = 6 x .

Or :
\left( \dfrac{1}{u(x)} \right)' = - \dfrac{u'(x)}{u^2(x)}

On dérive la dérivée première de f :
f''(x) = \left( - \frac{6 x}{\left(3 x^{2} - 4\right)^{2}} \right)'

f' est de la forme \dfrac{u}{v} avec :
u(x) = 6x , donc u'(x) = 6
et
v(x) = (3x^2 - 4)^2 , donc v'(x) = 2 \times 6x (3x^2 -4) = 12x (3x^2 -4)

On sait que :
f'' = -\left( \dfrac{u}{v} \right)' = -\dfrac{u'v - uv'}{v^2}

Donc :
f''(x) = -\dfrac{6 (3x^2 - 4)^2 - 6x \times 12x (3x^2 -4)}{(3x^2 - 4)^4}

En simplifiant par 3x^2 - 4 , on a :
f''(x) = -\dfrac{6 (3x^2 - 4) - 6x \times 12x}{(3x^2 - 4)^3}
f''(x) = -\dfrac{18x^2 - 24 - 72x^2}{(3x^2 - 4)^3}
f''(x) = -\dfrac{-54x^2 - 24}{(3x^2 - 4)^3}

On a :
f''(x) = 6 \dfrac{9x^2 + 4}{(3x^2 - 4)^3}

f'' est du signe de  3 x^{2} - 4 .

On sait que les racines de 3x^2 -4 sont -\dfrac{2\sqrt{3}}{3} et \dfrac{2\sqrt{3}}{3} , et 3x^2 - 4 est positif à l'extérieur des racines.

Une fonction est convexe si sa courbe représentative est toujours au-dessus de ses tangentes. Cela se traduit par le fait que la dérivée doit être croissante. Or, une fonction est croissante si sa dérivée est positive. Donc une fonction sera convexe si sa dérivée seconde est positive.

Or :
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}