Quelles sont les abscisses des points d'inflexion de la courbe de la fonction f définie sur \mathbb{R}^{\star} par f(x) = \frac{1}{x} ?
Un point d'inflexion est un point auquel la fonction passe d'une fonction convexe à une fonction concave ou inversement.
Comme une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on peut déterminer les points d'inflexion en calculant les valeurs pour lesquelles f'' s'annule et change de signe de part et d'autre.
On commence donc par dériver f .
Pour tout réel x\neq 0 :
f'(x) = - \frac{1}{x^{2}}
On dérive une seconde fois :
Pour tout réel x\neq 0 :
f''(x) =-\left(- \dfrac{2x}{\left( x^{2} \right)^{2}}\right)
f''(x) = \frac{2}{x^{3}}
x est l'abscisse d'un point d'inflexion si f''(x) = 0 et f'' change de signe de part et d'autre de x.
Soit un réel x\neq 0.
f''(x)=0\Leftrightarrow\dfrac{2}{x^{3}}=0
Aucun réel x ne vérifie cette équation.
Finalement, la représentation graphique associée à f ne possède aucun point d'inflexion.
Quelles sont les abscisses des points d'inflexion de la courbe de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^{3} ?
Un point d'inflexion est un point auquel la fonction passe d'une fonction convexe à une fonction concave ou inversement.
Comme une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on peut déterminer les points d'inflexion en calculant les valeurs pour lesquelles f'' s'annule et change de signe de part et d'autre.
On commence donc par dériver f :
Pour tout réel x :
f'(x) = 3 x^{2}
On dérive une seconde fois :
Pour tout réel x :
f''(x) = 3\times 2x=6 x
x est l'abscisse d'un point d'inflexion si f''(x) = 0 et f'' change de signe de part et d'autre de x.
Soit un réel x.
f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0
De plus f''(x)<0 si x<0 et f''(x)>0 si x>0.
Finalement, l'abscisse du point d'inflexion de la représentation graphique associée à f est x = 0 .
Quelles sont les abscisses des points d'inflexion de la courbe de la fonction f définie sur \mathbb{R}_+ par f(x) = \sqrt{x} ?
Un point d'inflexion est un point auquel la fonction passe d'une fonction convexe à une fonction concave ou inversement.
Comme une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on peut déterminer les points d'inflexion en calculant les valeurs pour lesquelles f'' s'annule et change de signe de part et d'autre.
On commence donc par dériver la fonction f définie sur ]0 ; +\infty[ :
Pour tout réel x>0 :
f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}
On dérive une seconde fois en utilisant la formule de dérivation \left( \dfrac{1}{u} \right)^{'}=-\dfrac{u'}{u^{2}} pour toute fonction dérivable :
Pour tout réel x>0 :
f''(x) = -\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}^{2}}=-\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}
x est l'abscisse d'un point d'inflexion si f''(x) = 0 et f'' change de signe de part et d'autre de x.
f''(x) = 0 est impossible.
Finalement, la représentation graphique associée à f ne possède aucun point d'inflexion.
Quelles sont les abscisses des points d'inflexion de la courbe de la fonction f définie sur l'intervalle \left]-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2} \right[ par f(x) = \tan{\left(x \right)}=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} ?
Un point d'inflexion est un point auquel la fonction passe d'une fonction convexe à une fonction concave ou inversement.
Comme une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on peut déterminer les points d'inflexion en calculant les valeurs pour lesquelles f'' s'annule et change de signe de part et d'autre.
On a :
f(x) = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}
f=\dfrac{u}{v} avec u(x)=\sin(x) et v(x)=\cos(x) pour tout x\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[.
On commence donc par dériver f :
f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
Soit un réel x\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[.
f'(x) = \dfrac{\cos(x)\times\cos(x)-\sin(x)\times (-\sin(x))}{\cos^2(x)}=\dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}
f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}, car \cos^2(x)+\sin^2(x)=1 pour tout réel x.
On dérive une seconde fois :
Soit un réel x\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[.
f''(x) = \dfrac{2\sin(x)\cos(x)}{\cos^{4}(x)}=\dfrac{2\sin(x)}{\cos^{3}(x)}
x est l'abscisse d'un point d'inflexion si f''(x) = 0 et f'' change de signe de part et d'autre de x.
Soit un réel x\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[.
f''(x)=0\Leftrightarrow \dfrac{2\sin(x)}{\cos^{3}(x)}=0
f''(x)=0 \Leftrightarrow \sin\left(x\right)=0
f''(x)=0\Leftrightarrow x=0
Sur \left]-\frac{\pi}{2};0\right[, \sin(x)<0 et \cos^3(x)>0, donc f''(x)<0.
Sur \left]0;\frac{\pi}{2}\right[, \sin(x)>0 et \cos^3(x)>0, donc f''(x)>0.
Finalement, l'abscisse du point d'inflexion de la représentation graphique associée à f est x = 0 .
Quelles sont les abscisses des points d'inflexion de la courbe de la fonction f définie sur \mathbb{R}^{\star} par f(x) = \frac{1}{x^2} ?
Un point d'inflexion est un point auquel la fonction passe d'une fonction convexe à une fonction concave ou inversement.
Comme une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on peut déterminer les points d'inflexion en calculant les valeurs pour lesquelles f'' s'annule et change de signe de part et d'autre.
On commence donc par dériver f sur \mathbb{R}^{*} :
Soit un réel x\neq 0 :
f'(x) = \frac{-2x}{x^{4}}
f'(x) = -\dfrac{2}{x^{3}}
On dérive une seconde fois :
Soit un réel x :
f''(x) = -\dfrac{-2\times3x^{2}}{\left( x^{3} \right)^{2}}=\dfrac{6}{x^{4}}
x est l'abscisse d'un point d'inflexion si f''(x) = 0 et f'' change de signe de part et d'autre de x.
f''(x) = 0 \Leftrightarrow -\frac{6}{x^{4}} = 0
f''(x) = 0 est impossible.
Finalement, la représentation graphique associée à f ne possède aucun point d'inflexion.