Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}_+ :
f(x) = - \sqrt{x}
On souhaite démontrer que cette fonction est convexe sur \mathbb{R}_+^* .
Quelle est la dérivée de f ?
Pour dériver f , on peut remarquer que f(x) =-\sqrt{x} = -x^{\dfrac{1}{2}} et appliquer la formule de la dérivée d'une fonction de la forme x \mapsto x^n , \left( x^n \right)' = n \times x^{n-1} :
f'(x) = \left( -x^{\dfrac{1}{2}} \right)' = - \dfrac{1}{2} x^{\dfrac{1}{2} - 1}
f'(x) = - \dfrac{1}{2} x^{-\dfrac{1}{2}} = -\dfrac{1}{2x^{\dfrac{1}{2}}}
Ainsi, f'(x) = - \frac{1}{2 \sqrt{x}} .
Quelle est la dérivée seconde de f ?
Pour calculer la dérivée seconde, on dérive la dérivée première :
\left( f'(x) \right)' = \left( - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \right)
Or, \dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\dfrac{1}{2}} .
Donc :
\left( \dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)' = \left( x^{-\dfrac{1}{2}} \right)'
\left( \dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)' = -\dfrac{1}{2} x^{-\dfrac{3}{2}}
\left( \dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)' = -\dfrac{1}{2 x^{\dfrac{3}{2}}}
On déduit :
f''(x) = - \frac{1}{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)'
f''(x) = - \frac{1}{2} \times \left( -\dfrac{1}{2 x^{\dfrac{3}{2}}} \right)
Ainsi, f''(x) = \dfrac{1}{4 x^{\dfrac{3}{2}}} .
Sur quel intervalle la dérivée seconde de f est-elle positive ?
La dérivée seconde est positive si :
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} \geq 0
f''(x) \geq x \in \mathbb{R}_+^*
Ainsi, la fonction x \mapsto \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} est positive sur \mathbb{R}_+^* .
Sur quel intervalle f est-elle convexe ?
Une fonction est convexe si sa courbe représentative est toujours au-dessus de ses tangentes. Cela se traduit par le fait que la dérivée doit être croissante. Or, une fonction est croissante si sa dérivée est positive. Donc une fonction sera convexe si sa dérivée seconde est positive.
Or :
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}
Ainsi, la fonction f est convexe sur \mathbb{R}_+^* .