Que peut-on dire de la fonction f(x) = x e^{- x} ?
Comme une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on détermine le signe de la dérivée seconde.
f est de la forme uv donc on peut appliquer :
(uv)' = u'v + uv'
Avec :
u(x) = x donc u'(x) = 1
et
v(x) = e^{- x} donc v'(x) = - e^{- x}
On commence donc par dériver f :
f'(x) = - x e^{- x} + e^{- x}
En dérivant une seconde fois avec la même méthode :
f''(x) = \left( - x e^{- x} + e^{- x} \right)'
f''(x) = \left(x - 2\right) e^{- x}
f est convexe si f''(x) \geq 0 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow \left(x - 2\right) e^{- x} \geq 0
Or, e^{-x} > 0 pour tout x \in \mathbb{R} .
Ainsi :
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \left[2, \infty\right[
La fonction x \mapsto \left(x - 2\right) e^{- x} est positive sur \left[2, \infty\right) et négative sur \left(-\infty, 2\right] .
Ainsi, f est convexe sur \left[2, +\infty\right[ et concave sur \left]-\infty, 2\right] .
Que peut-on dire de la fonction f(x) = e^{x} + e^{- x} ?
Comme une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on détermine le signe de la dérivée seconde.
f est de la forme u+v donc on peut appliquer :
(u + v)' = u' + v'
Avec :
u(x) = e^{- x} donc u'(x) = - e^{- x}
et
v(x) = e^{x} donc v'(x) = e^{x}
On commence donc par dériver f :
f'(x) = e^{x} - e^{- x}
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( e^{x} - e^{- x} \right)'
f''(x) = e^{x} + e^{- x}
f est convexe si f''(x) \geq 0 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow e^{x} + e^{- x} \geq 0
e^x est toujours positif donc cette inéquation est toujours vraie.
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}
La fonction x \mapsto e^{x} + e^{- x} est positive sur \mathbb{R} .
Ainsi, f est convexe sur \mathbb{R} .
Que peut-on dire de la fonction f(x) = \sqrt{x} + x^{2} ?
Comme une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on détermine le signe de la dérivée seconde.
f est de la forme u + v donc on peut appliquer :
(u + v)' = u' + v'
Avec :
u(x) = x^{2} donc u'(x) = 2 x
et
v(x) = \sqrt{x} donc v'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}
On commence donc par dériver f :
f'(x) = 2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( 2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \right)'
f''(x) = 2 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}
f est convexe si f''(x) \geq 0 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} \geq 0
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow 2 \geq \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow 4 x^{\frac{3}{2}} \geq \frac{1}{2}
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{4}
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \left[\frac{1}{4},+ \infty\right[
La fonction x \mapsto 2 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} est positive sur \left[\frac{1}{4}, \infty\right[ et négative sur \left]0, \frac{1}{4}\right] .
AInsi, f est convexe sur \left[\frac{1}{4}, +\infty\right[ et concave sur \left]0, \frac{1}{4}\right] .
Que peut-on dire de la fonction f(x) = x \ln{\left(x \right)} ?
Comme une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , déterminons le signe de la dérivée seconde.
f est de la forme uv donc on peut appliquer :
(uv)' = u'v + uv'
Avec :
u(x) = x donc u'(x) = 1
et
v(x) = \ln{\left(x \right)} donc v'(x) = \frac{1}{x}
On commence donc par dériver f :
f'(x) = \ln{\left(x \right)} + 1
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( \ln{\left(x \right)} + 1 \right)'
f''(x) = \frac{1}{x}
f est convexe si f''(x) \geq 0 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{x} \geq 0
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}_+^*
La fonction x \mapsto \frac{1}{x} est positive sur \mathbb{R}_+^* .
Ainsi, f est convexe sur \mathbb{R}_+^* .
Que peut-on dire de la fonction f(x) = x^{3} - x^2 ?
Comme une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on détermine le signe de la dérivée seconde.
f est de la forme u + v donc on peut appliquer :
(u + v)' = u' + v'
Avec :
u(x) = x^{3} donc u'(x) = 3 x^{2}
et
v(x) = - x^2 donc v'(x) = -2x
On commence donc par dériver f :
f'(x) = 3 x^{2} - 2 x
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( 3 x^{2} - 2 x \right)'
f''(x) = 2 \left(3 x - 1\right)
f est convexe si f''(x) \geq 0 .
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow 2 \left(3 x - 1\right) \geq 0
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \left[\frac{1}{3}, +\infty\right[
La fonction x \mapsto 2 \left(3 x - 1\right) est positive sur \left[\frac{1}{3}, \infty\right[ et négative sur \left]-\infty, \frac{1}{3}\right] .
Ainsi, f est convexe sur \left[\frac{1}{3}, +\infty\right[ et concave sur \left]-\infty, \frac{1}{3}\right] .