On veut calculer l'intervalle sur lequel la fonction suivante est convexe :
f(x) = - x^{2} - x + 2 e^{x - 1}
Quelle est la dérivée de la fonction f ?
Pour calculer la dérivée de cette fonction, on peut dériver terme à terme.
f'(x) = (- x^{2})' - (x)' + 2 (e^{x - 1})'
Ainsi, f'(x) = - 2 x + 2 e^{x - 1} - 1 .
Quelle est la dérivée seconde de f ?
En dérivant une seconde fois :
f''(x) = \left( - 2 x + 2 e^{x - 1} - 1 \right)'
Ainsi, f''(x) = 2 \left(e^{x - 1} - 1\right) .
Sur quel intervalle la dérivée seconde est-elle positive ?
On cherche à résoudre :
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow 2 \left(e^{x - 1} - 1\right) \geq 0
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow e^{x - 1} \geq 1 = \exp(0)
Or, pour tout x,y , \exp(x) \geq \exp(y) \Leftrightarrow x \geq y .
Donc :
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x - 1 \geq 0
f''(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1
Ainsi, f'' est positive sur [1; +\infty[ .
Sur quel intervalle la fonction f est-elle convexe ?
Une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I .
Or, f'' est positive sur [1; +\infty[ .
On en déduit que f est convexe sur [1; +\infty[ .