Quel est l'ensemble des abscisses des points d'inflexion de la courbe de la fonction f:x\mapsto \frac{1}{x^{2} + 1} ?
En l'abscisse d'un point d'inflexion de la courbe représentative de f, la fonction f change de convexité.
Comme une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on peut déterminer les points d'inflexion en calculant les valeurs x pour lesquelles f'' s'annule en changeant de signe.
f est de la forme u \circ v , avec u(x)=\dfrac{1}{x} et v(x)=x^2+1.
v est dérivable et strictement positive sur \mathbb{R}.
u est dérivable sur ]0;+\infty[.
Par composition, u\circ v est dérivable sur \mathbb{R}
et pour tout réel x,
\left( (u \circ v \right)'(x) = u'(v(x)) \times v'(x)
Or, pour tout réel x,
u(x) = \dfrac{1}{x} donc u'(x) = - \dfrac{1}{x^{2}}
et v(x) = x^{2} + 1 donc v'(x) = 2 x
Ainsi pour tout réel x,
f'(x) = \dfrac{-2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}
Ainsi f' est de la forme \dfrac{u}{v} avec u(x)=-2x et v(x)=\left(x^2+1\right)^2.
u est dérivable sur \mathbb{R}.
v est dérivable et strictement positive sur \mathbb{R}.
Par quotient, f' est dérivable et f''=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
Pour tout réel x, u'(x)=-2 et v'(x)=2\times 2x\times \left(x^2+1\right)=4x\left(x^2+1\right),
donc f''(x)=\dfrac{-2\left(x^2+1\right)^2-(-2x)\times 4x\left(x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)^4}
f''(x)=\dfrac{\left(x^2+1\right)\left[-2\left(x^2+1\right)+8x^2\right]}{\left(x^2+1\right)^4}
f''(x)=\dfrac{6x^2-2}{\left(x^2+1\right)^3}
Pour tout réel x, \left(x^2+1\right)^3>0.
Soit x\in\mathbb{R}.
6x^2-2>0\Leftrightarrow 6x^2>2
6x^2-2>0\Leftrightarrow x^2>\dfrac{1}{3}
6x^2-2>0\Leftrightarrow x<\dfrac{-1}{\sqrt{3}} ou x>\dfrac{1}{\sqrt{3}}
Par conséquent, on obtient :
f''(x)>0\Leftrightarrow x<\dfrac{-1}{\sqrt{3}} ou x>\dfrac{1}{\sqrt{3}}
On en déduit que :
f'' s'annule en changeant de signe en -\dfrac{\sqrt{3}}{3} et \dfrac{\sqrt{3}}{3}.
Ainsi, l'ensemble des abscisses des points d'inflexion de la courbe de la fonction f est \left\{ -\dfrac{\sqrt{3}}{3} ; \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right\} .
Quel est l'ensemble des abscisses des points d'inflexion de la courbe de la fonction f:x\mapsto \left(2 x + 3\right)^{3} ?
En l'abscisse d'un point d'inflexion de la courbe représentative de f, la fonction f change de convexité.
Comme une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on peut déterminer les points d'inflexion en calculant les valeurs x pour lesquelles f'' s'annule en changeant de signe.
f est de la forme u \circ v , avec u(x)=x^3 et v(x)=2x+3.
v est dérivable sur \mathbb{R}.
u est dérivable sur \mathbb{R}.
Par composition, u\circ v est dérivable sur \mathbb{R}
et pour tout réel x,
\left( (u \circ v \right)'(x) = u'(v(x)) \times v'(x)
Or, pour tout réel x,
u(x) = x^3 donc u'(x) = 3x^2
et v(x) = 2x+3 donc v'(x) = 2
Ainsi pour tout réel x,
f'(x) = 3\left(2x+3\right)^2\times 2=6\left(2x+3\right)^2
De la même façon que f, f' est dérivable sur \mathbb{R}.
Pour tout réel x, f''(x)=6\times 2\times 2\times (2x+3)=24(2x+3).
Par conséquent, on obtient :
f''(x)>0\Leftrightarrow 2x+3>0
f''(x)>0\Leftrightarrow x>\dfrac{-3}{2}
On en déduit que :
f'' s'annule en changeant de signe en \dfrac{-3}{2}.
Ainsi, l'ensemble des abscisses des points d'inflexion de la courbe de la fonction f est \left\{- \frac{3}{2}\right\} .
Quel est l'ensemble des abscisses des points d'inflexion de la courbe de la fonction f:x\mapsto \sqrt{x^{2} + 1} ?
En l'abscisse d'un point d'inflexion de la courbe représentative de f, la fonction f change de convexité.
Comme une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on peut déterminer les points d'inflexion en calculant les valeurs x pour lesquelles f'' s'annule en changeant de signe.
f est de la forme u \circ v , avec u(x)=\sqrt{x} et v(x)=x^2+1.
v est dérivable et strictement positive sur \mathbb{R}.
u est dérivable sur ]0;+\infty[.
Par composition, u\circ v est dérivable sur \mathbb{R}
et pour tout réel x,
\left( (u \circ v \right)'(x) = u'(v(x)) \times v'(x)
Or, pour tout réel x,
u(x) = \sqrt{x} donc u'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
et v(x) = x^{2} + 1 donc v'(x) = 2 x
Ainsi pour tout réel x,
f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\times 2x
f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}
Ainsi f' est de la forme \dfrac{u}{v} avec u(x)=x et v(x)=\sqrt{x^2+1}.
u est dérivable sur \mathbb{R}.
v est dérivable et strictement positive sur \mathbb{R}.
Par quotient, f' est dérivable et f''=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
Pour tout réel x, u'(x)=1 et v'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}},
donc f''(x)=\dfrac{1\times \sqrt{x^2+1}-x\times \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}
f''(x)=\dfrac{\left(x^2+1\right)-x^2}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}
f''(x)=\dfrac{1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}
Pour tout réel x, f''(x)>0.
Ainsi, la courbe de la fonction f ne possède aucun point d'inflexion.
Quel est l'ensemble des abscisses des points d'inflexion de la courbe de la fonction f:x\mapsto e^{- x^{2}} ?
En l'abscisse d'un point d'inflexion de la courbe représentative de f, la fonction f change de convexité.
Comme une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on peut déterminer les points d'inflexion en calculant les valeurs x pour lesquelles f'' s'annule en changeant de signe.
f est de la forme u \circ v , avec u(x)=\text{e}^x et v(x)=-x^2.
v est dérivable sur \mathbb{R}.
u est dérivable sur \mathbb{R}.
Par composition, u\circ v est dérivable sur \mathbb{R}
et pour tout réel x,
\left( (u \circ v \right)'(x) = u'(v(x)) \times v'(x)
Or, pour tout réel x,
u(x) = \text{e}^x donc u'(x) = \text{e}^x
et v(x) = -x^{2} donc v'(x) = -2 x
Ainsi pour tout réel x,
f'(x) = \text{e}^{-x^2}\times (-2x)=-2x\text{e}^{-x^2}
Ainsi f' est de la forme u\times v avec u(x)=-2x et v(x)=\text{e}^{-x^2}.
u est dérivable sur \mathbb{R}.
v est dérivable \mathbb{R}.
Par produit, f' est dérivable et f''=u'v+uv'.
Pour tout réel x, u'(x)=-2 et v'(x)=-2x\text{e}^{-x^2},
donc f''(x)=-2\times \text{e}^{-x^2}+(-2x)\times (-2x)\text{e}^{-x^2}
f''(x)=(4x^2-2)\text{e}^{-x^2}
Or pour tout réel x, \text{e}^{-x^2}>0.
Par conséquent, on obtient :
f''(x)>0\Leftrightarrow 4x^2-2>0
f''(x)>0\Leftrightarrow x^2>\dfrac{1}{2}
f''(x)>0\Leftrightarrow x<\dfrac{-1}{\sqrt{2}} ou x>\dfrac{1}{\sqrt{2}}
On en déduit que :
f'' s'annule en changeant de signe en \dfrac{-1}{\sqrt{2}} et \dfrac{1}{\sqrt{2}}.
Ainsi, l'ensemble des abscisses des points d'inflexion de la courbe de la fonction f est \left\{- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right\} .
Quel est l'ensemble des abscisses des points d'inflexion de la courbe de la fonction f:x\mapsto \sin{\left(2 x \right)} sur \left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right] ?
En l'abscisse d'un point d'inflexion de la courbe représentative de f, la fonction f change de convexité.
Comme une fonction est convexe sur un intervalle I si sa dérivée seconde est positive sur I , et concave si sa dérivée seconde est négative sur I , on peut déterminer les points d'inflexion en calculant les valeurs x pour lesquelles f'' s'annule en changeant de signe.
f est de la forme u \circ v , avec u(x)=\sin{x} et v(x)=2x.
v est dérivable sur \mathbb{R}.
u est dérivable sur \mathbb{R}.
Par composition, u\circ v est dérivable sur \mathbb{R}
et pour tout réel x,
\left( (u \circ v \right)'(x) = u'(v(x)) \times v'(x)
Or, pour tout réel x,
u(x) = \sin{x} donc u'(x) = \cos(x)
et v(x) = 2x donc v'(x) = 2
Ainsi pour tout réel x,
f'(x) = \cos(2x)\times 2=2\cos(2x)
De la même façon que f, f' est dérivable sur \mathbb{R}.
Pour tout réel x, f''(x)=2\times \left[-\sin(2x)\right]\times 2.
f''(x)=-4\sin(2x)
Soit x\in\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right].
Alors 2x\in\left[-\pi;\pi\right] et
f''(x)>0\Leftrightarrow \sin(2x)<0
f''(x)>0\Leftrightarrow 2x<0
f''(x)>0\Leftrightarrow x<0
On en déduit que :
f'' s'annule en changeant de signe en 0.
Ainsi, l'ensemble des abscisses des points d'inflexion de la courbe de la fonction f sur \left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right] est \left\{0 ;\right\} .