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  4. Exercice : Démontrer par récurrence qu'une suite est bornée

Démontrer par récurrence qu'une suite est bornée Exercice

Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.

Dernière modification : 01/10/2020 - Conforme au programme 2019-2020

On considère la suite \left(u_n\right) définie par :

\begin{cases} u_0\in\left[ 0;1 \right] \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=u_n \left(2-u_n\right) \end{cases}

Quelle proposition démontre que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant1 ?

Montrons par récurrence que \forall n\in\mathbb{N}, 0\leqslant u_n\leqslant1.

Etape 1

Initialisation

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0\in\left[ 0;1 \right]

Donc 0\leqslant u_0\leqslant1

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

Etape 2

Hérédité

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant1

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant1

1\leqslant 2- u_n\leqslant2

0\leqslant\left( 2- u_n\right) u_n\leqslant2

L'inégalité à gauche est bonne mais celle à droite n'est pas assez précise donc on cherche à l'ajuster.

Pour cela on compare u_n\left(2-u_n\right) avec 1:

u_n\left(2-u_n\right) -1= - u_n^2 +2u_n -1 = -\left(u_n-1\right)^2

Cette quantité est négative donc u_n\left(2-u_n\right) -1\leqslant0

Ainsi, u_n\left(2-u_n\right) \leqslant1

Finalement, u_{n+1} \leqslant1

On a bien ce que l'on voulait prouver : 0\leqslant u_{n+1} \leqslant1

La propriété est donc héréditaire.

Etape 3

Conclusion

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant1.

\forall n\in\mathbb{N}, 0\leqslant u_n\leqslant1

On considère la suite \left(u_n\right) définie par :

\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{u_n + 1}\end{cases}

On souhaite montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.

Lesquelles de ces parties de la récurrence sont fausses ou incomplètes ?

On considère la suite \left(u_n\right) définie par :

\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{u_n + 1}\end{cases}

On souhaite montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.

Lesquelles de ces parties de la récurrence sont fausses ou incomplètes ?

On considère la suite \left(u_n\right) définie par :

\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{u_n + 1}\end{cases}

On souhaite montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.

Comment effectuer les calculs de l'hérédité ?

On considère la suite \left(u_n\right) définie par :

\begin{cases} u_0=0 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{u_n + 2}\end{cases}

On souhaite montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.

Comment effectuer les calculs de l'hérédité ?

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