On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\begin{cases} u_0\in\left[ 0;1 \right] \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=u_n \left(2-u_n\right) \end{cases}
Quelle proposition démontre que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant1 ?
Montrons par récurrence que \forall n\in\mathbb{N}, 0\leqslant u_n\leqslant1.
Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n=0.
On a u_0\in\left[ 0;1 \right]
Donc 0\leqslant u_0\leqslant1
La propriété est bien vérifiée au rang n=0.
Hérédité
Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)
On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant1
Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :
0\leqslant u_n\leqslant1
1\leqslant 2- u_n\leqslant2
0\leqslant\left( 2- u_n\right) u_n\leqslant2
L'inégalité à gauche est bonne mais celle à droite n'est pas assez précise donc on cherche à l'ajuster.
Pour cela on compare u_n\left(2-u_n\right) avec 1:
u_n\left(2-u_n\right) -1= - u_n^2 +2u_n -1 = -\left(u_n-1\right)^2
Cette quantité est négative donc u_n\left(2-u_n\right) -1\leqslant0
Ainsi, u_n\left(2-u_n\right) \leqslant1
Finalement, u_{n+1} \leqslant1
On a bien ce que l'on voulait prouver : 0\leqslant u_{n+1} \leqslant1
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant1.
\forall n\in\mathbb{N}, 0\leqslant u_n\leqslant1
On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{u_n + 1}\end{cases}
On souhaite montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.
Lesquelles de ces parties de la récurrence sont fausses ou incomplètes ?
On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{u_n + 1}\end{cases}
On souhaite montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.
Lesquelles de ces parties de la récurrence sont fausses ou incomplètes ?
On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{u_n + 1}\end{cases}
On souhaite montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.
Comment effectuer les calculs de l'hérédité ?
On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\begin{cases} u_0=0 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{u_n + 2}\end{cases}
On souhaite montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.
Comment effectuer les calculs de l'hérédité ?