On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\begin{cases} u_0=9 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=2u_n-6 \end{cases}
Quelle proposition démontre par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n=3\times 2^n+6 ?
Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n=0.
On a :
\begin{cases} 3\times 2^0+6=3\times 1 +6= 3+6=9 \cr \cr u_0=9 \end{cases}
La propriété est bien vérifiée au rang n=0.
Hérédité
Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)
On veut donc démontrer que u_{n+1}=3\times 2^{n+1}+6.
Or, on a :
u_{n+1}=2u_n-6\\
Et, d'après l'hypothèse de récurrence :
u_{n+1}=2\left( 3\times 2^n+6\right)-6
u_{n+1}=2\times3\times 2^n+6\times2 -6
u_{n+1}=2\times3\times 2^n+12-6
Et, comme 2\times 2^n=2^{n+1} on obtient :
u_{n+1}=3\times 2^{n+1}+6
La propriété est héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, u_n=3\times2^n+6.
\forall n \in\mathbb{N}, u_n=3\times2^n+6
On considère la suite \left(u_n\right) définie par :
\begin{cases} u_0=3 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=5u_n-8 \end{cases}
Quelle proposition démontre par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n= 5^n+2 ?
Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n=0.
On a :
\begin{cases} 5^0+2= 1 +2=3 \cr \cr u_0=3 \end{cases}
La propriété est bien vérifiée au rang n=0.
Hérédité
Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)
On veut donc démontrer que u_{n+1}=5^{n+1}+2.
Or, on a :
u_{n+1}=5u_n-8
Et, d'après l'hypothèse de récurrence :
u_{n+1}=5\left(5^n+2 \right)-8
u_{n+1}=5\times 5^n+2\times5 -8
u_{n+1}=5\times 5^n+10-8
Et, comme 5\times 5^n=5^{n+1} on obtient :
u_{n+1}=5^{n+1}+2
La propriété est héréditaire.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, u_n=5^n+2.
\forall n \in\mathbb{N}, u_n=5^n+2
On considère la suite \left(u_n\right) définie pour tout entier naturel n par :
\left\{\begin{array}{l}u_0=2\\u_{n+1}=1-2u_n\end{array}\right.
Quelle est la forme explicite de \left(u_n\right) ?
On considère la suite \left(u_n\right) définie pour tout entier naturel n par :
\left\{\begin{array}{l}u_0=2\\u_{n+1}=1+3u_n\end{array}\right.
Quelle est la forme explicite de \left(u_n\right) ?
On considère la suite \left(u_n\right) définie pour tout entier naturel n par :
\left\{\begin{array}{l}u_0=1\\u_{n+1}=4+2u_n\end{array}\right.
Quelle est la forme explicite de \left(u_n\right) ?
On considère la suite \left(u_n\right) définie pour tout entier naturel n par :
\left\{\begin{array}{l}u_0=1\\u_{n+1}=20+ 3u_n\end{array}\right.
Quelle est la forme explicite de \left(u_n\right) ?