Déterminer les points d'intersection de deux paraboles Exercice

Un point M(x;y) est à l'intersection de deux courbes si ses coordonnées vérifient chacune des deux équations.

Ici, on a :
P:y=-3x^2+6x-1
Q:y=3x^2-6x-1

Afin de déterminer le(s) point(s) d'intersection de ces deux paraboles, on résout le système suivant :
\begin{cases} y=-3x^2+6x-1 \cr \cr y=3x^2-6x-1 \end{cases}

Soit, en additionnant les deux lignes :
\begin{cases} y=-3x^2+6x-1 \cr \cr 2y=-2\end{cases}

\begin{cases} -1=-3x^2+6x-1 \cr \cr y=-1\end{cases}

\begin{cases} -3x^2+6x=0 \cr \cr y=-1\end{cases}

\begin{cases} -x(3x-6)=0 \cr \cr y=-1\end{cases}

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs au moins est nul. Le système devient :
\begin{cases} x=0 \cr \cr y=-1\end{cases}  ou  \begin{cases} x=2 \cr \cr y=-1\end{cases}

\begin{cases} -x(3x-6)=0 \cr \cr y=-1\end{cases}

Un point M(x;y) est à l'intersection de deux courbes si ses coordonnées vérifient chacune des deux équations.

Ici, on a :
P:y=3x^2+3x-1
Q:y=2x^2-x+4

Afin de déterminer le(s) point(s) d'intersection de ces deux paraboles, on résout le système suivant :
\begin{cases} y=3x^2+3x-1 \cr \cr y=2x^2-x+4 \end{cases}

Soit, en soustrayant les deux lignes :
\begin{cases} y=3x^2+3x-1 \cr \cr -x^2-4x+5=0 \end{cases}

Il faut désormais résoudre l'équation du second degré : -x²-4x+5=0.

Pour cela on calcule : \Delta=b²-4ac=(-4)²-4\times(-1)\times5=16+20=36.

Puis on calcule les racines du polynôme : 
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4-\sqrt{36}}{2\times(-1)}=\dfrac{-2}{-2}=1
x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4+\sqrt{36}}{2\times(-1)}=\dfrac{10}{-2}=-5

On revient maintenant au système : 
\begin{cases} y=3x^2+3x-1 \cr \cr x=1 \end{cases} ou  \begin{cases} y=3x^2+3x-1 \cr \cr x=-5 \end{cases}
\begin{cases} y=3\times1^2+3-1 \cr \cr x=1 \end{cases} ou \begin{cases} y=3\times(-5)^2+3\times(-5) -1\cr \cr x=-5 \end{cases}

Soit : 
\begin{cases} y=5 \cr \cr x=1 \end{cases} ou \begin{cases} y=59 \cr \cr x=-5 \end{cases}

Un point M(x;y) est à l'intersection de deux courbes si ses coordonnées vérifient chacune des deux équations.

Ici, on a :
P:y=x^2+2x-1
Q:y=2x^2-2x+3

Afin de déterminer le(s) point(s) d'intersection de ces deux paraboles, on résout le système suivant :
\begin{cases} y=x^2+2x-1 \cr \cr y=2x^2-2x+3 \end{cases}

Soit, en soustrayant les deux lignes :
\begin{cases} y=x^2+2x-1 \cr \cr x^2-4x+4=0 \end{cases}

Il faut désormais résoudre l'équation du second degré : x²-4x+4=0

Pour cela on calcule : \Delta=b²-4ac=(-4)²-4\times4=16-16=0

Puis on calcule la racine (double) du polynôme : 
x_1=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{4}{2}=2

On revient maintenant au système : 
\begin{cases} y=x^2+2x-1 \cr \cr x=2 \end{cases} 
\begin{cases} y=2^2+2\times2-1 \cr \cr x=2 \end{cases} 

Soit : 
\begin{cases} y=7 \cr \cr x=2 \end{cases} 

Un point M(x;y) est à l'intersection de deux courbes si ses coordonnées vérifient chacune des deux équations.

Ici, on a :
P:y=4x^2-3x-10
Q:y=-4x^2+3x-8

Afin de déterminer le(s) point(s) d'intersection de ces deux paraboles, on résout le système suivant :
\begin{cases} y=-4x^2+3x-10 \cr \cr y=4x^2-3x-8 \end{cases}

Soit, en additionnant les deux lignes :
\begin{cases} y=4x^2-3x-10 \cr \cr 2y=-18\end{cases}

\begin{cases} -9=4x^2-3x-10 \cr \cr y=-9\end{cases}

\begin{cases} 4x^2-3x-1=0 \cr \cr y=-9\end{cases}

On résout maintenant l'équation du second degré : 4x^2-3x-1=0.

Pour cela on calcule : \Delta=b^2-4ac=(-3)²-4\times(-1)\times4=9+16=25.

Puis on calcule les racines du polynôme : 
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3-\sqrt{25}}{2\times(4)}=\dfrac{-2}{8}=\dfrac{-1}{4}
x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3+\sqrt{25}}{2\times(4)}=\dfrac{8}{8}=1

Le système devient :
\begin{cases} x=-1/4 \cr \cr y=-9\end{cases}  ou  \begin{cases} x=1 \cr \cr y=-9\end{cases}

Un point M(x;y) est à l'intersection de deux courbes si ses coordonnées vérifient chacune des deux équations.

Ici, on a :
P:y=x^2-x+2
Q:y=4x^2-3x+1

Afin de déterminer le(s) point(s) d'intersection de ces deux paraboles, on résout le système suivant :
\begin{cases} y=x^2-x+2 \cr \cr y=4x^2-3x+1 \end{cases}

Soit, en soustrayant les deux lignes :
\begin{cases} y=x^2-x+2 \cr \cr 3x^2-2x-1=0 \end{cases}

Il faut désormais résoudre l'équation du second degré : 3x^2-2x-1=0.

Pour cela on calcule : \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times(-1)\times3=4+12=16.

Puis on calcule les racines du polynôme : 
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2-\sqrt{16}}{2\times(3)}=\dfrac{-2}{6}=\dfrac{-1}{3}
x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2+\sqrt{16}}{2\times(3)}=\dfrac{6}{6}=1

Revenons maintenant au système : 
\begin{cases} y=x^2-x+2 \cr \cr x=\dfrac{-1}{3} \end{cases} ou  \begin{cases} y=x^2-x+2 \cr \cr x=1 \end{cases}
\begin{cases} y=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{3}+2 \cr \cr x=\dfrac{-1}{3} \end{cases} ou \begin{cases} y=1-1+2\cr \cr x=1 \end{cases}

Soit : 
\begin{cases} y=\dfrac{22}{9} \cr \cr x=\dfrac{-1}{3} \end{cases} ou \begin{cases} y=2 \cr \cr x=1 \end{cases}