Géométrie repérée Cours

Sommaire

ILes équations de droitesARappelsBVecteurs normauxIILes équations de cerclesIIILes fonctions polynômes du second degré

Dans tout le présent chapitre, on considère le plan muni d'un repère orthonormé \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right).

I

Les équations de droites

A

Rappels

Toute droite du plan admet une équation du type ax+by+c=0.

Équation cartésienne

Soit \mathcal{D} une droite du plan.

Toute équation de \mathcal{D} du type ax+by+c=0 est appelée équation cartésienne de la droite \mathcal{D}.

Soit \mathcal{D} une droite du plan d'équation cartésienne ax+by+c=0.

Alors le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix} est un vecteur directeur de \mathcal{D}.

Soient a, b et c trois réels tels que (a;b)\neq (0;0).

L'ensemble des points M(x;y) du plan tels que ax+by+c=0 est une droite.

Cette propriété est la réciproque de la première propriété.

Soit A un point du plan et \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix} un vecteur non nul.

La droite \mathcal{D} passant par A et de vecteur directeur \overrightarrow{u} admet une équation cartésienne du type \beta x-\alpha y +c=0.

B

Vecteurs normaux

Vecteur normal

Soient \mathcal{D} une droite du plan et \overrightarrow{u} un vecteur directeur de \mathcal{D}.

Un vecteur \overrightarrow{n} est dit normal à \mathcal{D} s'il est orthogonal à \overrightarrow{u}.

Considérons la droite (d) d'équation cartésienne 2x+5y−1=0.

Le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}−5\\2\end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite (d).

Considérons le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4\\10\end{pmatrix}.

On a \overrightarrow{n}\cdot~\overrightarrow{u}=4\times (−5)+10\times 2=−20+20=0.

\overrightarrow{n} est orthogonal à \overrightarrow{u}.

\overrightarrow{n} est donc un vecteur normal à la droite (d).

Soient a, b et c trois nombres réels tels que (a;b)\neq (0;0).

La droite (d) d'équation cartésienne ax+by+c=0 admet le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} comme vecteur normal.

Considérons la droite \Delta d'équation cartésienne 7x−4=0.

Alors le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix} est un vecteur normal à \Delta.

Soient a, b deux réels tels que (a;b)\neq (0;0) et \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}.

Alors toute droite (d) admettant \overrightarrow{n} comme vecteur normal admet une équation cartésienne du type ax+by+c=0.

Soient le point A(1;3) et le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}.

La droite (d) passant par A et admettant \overrightarrow{n} comme vecteur normal admet une équation cartésienne du type −2x+5y+c=0.

Comme A\in (d), on a −2x_A+5y_A+c=0, soit −2\times 1+5\times 3+c=0.

On en déduit : c=−13.

La droite (d) admet donc pour équation cartésienne :

−2x+5y−13=0

Cette propriété est la réciproque de la propriété précédente.

Soient (d) une droite du plan et A un point du plan n'appartenant pas à (d).

On appelle projeté orthogonal du point A sur (d) le point H de (d) tel que \overrightarrow{AH} soit un vecteur normal à (d).

La droite (d) ci-contre est la droite d'équation cartésienne x−2y+6=0.

Le point A a pour coordonnées (−3;4) et le point H a pour coordonnées (−2;2).

Vérifions que H est bien le projeté orthogonal du point A sur la droite (d) :

-
  • x_H−2y_H+6=−2−2\times 2+6=−2−4+6=0.
    Donc H\in (d).
     
  • Le vecteur \overrightarrow{AH} a pour coordonnées \begin{pmatrix}x_H-x_A\\y_H-y_A\end{pmatrix}.

 

On obtient \begin{pmatrix}−2-(−3)\\2−4\end{pmatrix}, soit \begin{pmatrix}1\\−2\end{pmatrix}.

Le vecteur \overrightarrow{AH} est donc normal à la droite (d) puisque l'on retrouve les coefficients qui sont devant x et y dans l'équation donnée de (d).

  • H\in (d) et \overrightarrow{AH} est normal à (d), donc H est bien le projeté orthogonal du point A sur la droite (d).
II

Les équations de cercles

Soient A(\alpha;\beta) un point du plan et R un nombre réel strictement positif.

Le cercle \mathcal{C} de centre A et de rayon R admet pour équation : (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2.

Autrement dit, le cercle de centre A(\alpha;\beta) et de rayon R est l'ensemble des points M de coordonnées (x;y) tels que (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2.

Soit A  le point du plan de coordonnées (4;5).

Le cercle de centre A  et de rayon 3 admet pour équation :

(x−4)^2+(y−5)^2=3^2,

soit (x−4)^2+(y−5)^2=9.

Soit R  un nombre réel quelconque.

L'ensemble des points M(x;y) du plan tels que (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R est :

  • le cercle de centre A(\alpha;\beta) et de rayon \sqrt{R} si R>0 ;
  • le point A(\alpha;\beta) si R=0 ;
  • l'ensemble vide si R<0.

L'ensemble des points M(x;y) du plan tels que (x−1)^2+(y−10)^2=3 est le cercle de centre A(1;10) et de rayon \sqrt{3}.

III

Les fonctions polynômes du second degré

Fonction polynôme du second degré

  • Une fonction f définie sur \mathbb{R}, dont l'expression peut s'écrire sous la forme f(x)=ax^2+bx+c, où a, b, c sont des réels tels que a\neq 0, est appelée fonction polynôme du second degré ou trinôme.
  • La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est appelée parabole.
  • On appelle sommet de la parabole le point S marquant l'extremum de la fonction.
  • La fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=−3x^2+\dfrac{2}{3}x−1 est une fonction polynôme du second degré.

En effet, f(x) est bien de la forme ax^2+bx+c avec a=−3, b=\dfrac{2}{3} et c=−1.

  • La fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x)=(x−2)^2-x^2−5 n'est pas une fonction polynôme du second degré.

En effet, pour tout réel x, g(x)=x^2−4x+4-x^2−5=−4x−1.

Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression f(x)=ax^2+bx+c (avec a\neq 0).

  • Si a>0, la parabole représentant f est orientée « vers le haut » ; autrement dit, la fonction f est d'abord décroissante, puis croissante.
  • Si a<0, la parabole représentant f est orientée « vers le bas » ; autrement dit, la fonction f est d'abord croissante, puis décroissante.

Voici les courbes représentatives de trois fonctions polynômes du second degré d'expressions :

f(x)=3x^2+12x+12

g(x)=2x^2−4x−2

h(x)=-x^2+6x−9

-
  • Si a >0, l'ordonnée du sommet S est un maximum pour la fonction f.
  • Si a<0, l'ordonnée du sommet est un minimum pour f.

Avec les notations précédentes, le sommet S de la parabole représentative de f a pour coordonnées (\alpha;\beta).

On obtient \alpha=\dfrac{-b}{2a} et \beta est la valeur de l'extremum, c'est-à-dire f(\alpha).

Soit f la fonction polynôme du second degré définie sur \mathbb{R} par f(x)=5x^2−4x+9.

On a donc, pour tout réel x, f(x)=ax^2+bx+c, avec a=5, b=−4 et c=9.

Posons \alpha=\dfrac{-b}{2a} et \beta=f(\alpha).

Alors \alpha=\dfrac{-(−4)}{2\times 5}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}.

\beta=f\left( \dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{41}{5}

Ainsi la forme canonique de f(x) est :

f(x)=5\left( x-\dfrac{2}{5}\right)^2+\dfrac{41}{5}

Le sommet de la parabole représentant f est le point S\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{41}{5}\right).

Avec les notations précédentes, on a, pour tout réel x :

f(\alpha-x)=f(\alpha+x)

Avec les notations précédentes, la parabole représentant f admet un axe de symétrie : 

la droite d'équation x=\alpha, c'est-à-dire la droite d'équation x=\dfrac{-b}{2a}.

L'axe de symétrie de la parabole représentant une fonction polynôme du second degré est donc la droite parallèle à l'axe des ordonnées et passant par le sommet de la parabole.

Soit f la fonction polynôme du second degré définie sur \mathbb{R} par
f(x)=−8x^2+x+3.

On a donc f(x)=ax^2+bx+c avec a=−8, b=1 et c=3.

L'abscisse du sommet de la parabole représentant f est :
\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{−1}{2\times (−8)}=\dfrac{1}{16}

La parabole représentant f admet un axe de symétrie, la droite d'équation
x=\dfrac{1}{16}.