Géométrie repéréeCours

Dans tout le présent chapitre, on considère le plan muni d'un repère orthonormé \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right).

I

Les équations de droites

A

Rappels

Toute droite du plan admet une équation du type ax+by+c=0.

Équation cartésienne

Soit \mathcal{D} une droite du plan.

Toute équation de \mathcal{D} du type ax+by+c=0 est appelée équation cartésienne de la droite \mathcal{D}.

Soit \mathcal{D} une droite du plan d'équation cartésienne ax+by+c=0.

Alors le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix} est un vecteur directeur de \mathcal{D}.

Soient a, b et c trois réels tels que (a;b)\neq (0;0).

L'ensemble des points M(x;y) du plan tels que ax+by+c=0 est une droite.

Cette propriété est la réciproque de la première propriété.

Soit A un point du plan et \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix} un vecteur non nul.

La droite \mathcal{D} passant par A et de vecteur directeur \overrightarrow{u} admet une équation cartésienne du type \beta x-\alpha y +c=0.

B

Vecteurs normaux

Vecteur normal

Soient \mathcal{D} une droite du plan et \overrightarrow{u} un vecteur directeur de \mathcal{D}.

Un vecteur \overrightarrow{n} est dit normal à \mathcal{D} s'il est orthogonal à \overrightarrow{u}.

Considérons la droite (d) d'équation cartésienne 2x+5y−1=0.

Le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}−5\\2\end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite (d).

Considérons le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4\\10\end{pmatrix}.

On a \overrightarrow{n}\cdot~\overrightarrow{u}=4\times (−5)+10\times 2=−20+20=0.

\overrightarrow{n} est orthogonal à \overrightarrow{u}.

\overrightarrow{n} est donc un vecteur normal à la droite (d).

Soient a, b et c trois nombres réels tels que (a;b)\neq (0;0).

La droite (d) d'équation cartésienne ax+by+c=0 admet le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} comme vecteur normal.

Considérons la droite \Delta d'équation cartésienne 7x−4=0.

Alors le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix} est un vecteur normal à \Delta.

Soient a, b deux réels tels que (a;b)\neq (0;0) et \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}.

Alors toute droite (d) admettant \overrightarrow{n} comme vecteur normal admet une équation cartésienne du type ax+by+c=0.

Soient le point A(1;3) et le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}.

La droite (d) passant par A et admettant \overrightarrow{n} comme vecteur normal admet une équation cartésienne du type −2x+5y+c=0.

Comme A\in (d), on a −2x_A+5y_A+c=0, soit −2\times 1+5\times 3+c=0.

On en déduit : c=−13.

La droite (d) admet donc pour équation cartésienne :

−2x+5y−13=0

Cette propriété est la réciproque de la propriété précédente.

Soient (d) une droite du plan et A un point du plan n'appartenant pas à (d).

On appelle projeté orthogonal du point A sur (d) le point H de (d) tel que \overrightarrow{AH} soit un vecteur normal à (d).

La droite (d) ci-contre est la droite d'équation cartésienne x−2y+6=0.

Le point A a pour coordonnées (−3;4) et le point H a pour coordonnées (−2;2).

Vérifions que H est bien le projeté orthogonal du point A sur la droite (d) :

-
  • x_H−2y_H+6=−2−2\times 2+6=−2−4+6=0.
    Donc H\in (d).
     
  • Le vecteur \overrightarrow{AH} a pour coordonnées \begin{pmatrix}x_H-x_A\\y_H-y_A\end{pmatrix}.

 

On obtient \begin{pmatrix}−2-(−3)\\2−4\end{pmatrix}, soit \begin{pmatrix}1\\−2\end{pmatrix}.

Le vecteur \overrightarrow{AH} est donc normal à la droite (d) puisque l'on retrouve les coefficients qui sont devant x et y dans l'équation donnée de (d).

  • H\in (d) et \overrightarrow{AH} est normal à (d), donc H est bien le projeté orthogonal du point A sur la droite (d).
II

Les équations de cercles

Soient A(\alpha;\beta) un point du plan et R un nombre réel strictement positif.

Le cercle \mathcal{C} de centre A et de rayon R admet pour équation : (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2.

Autrement dit, le cercle de centre A(\alpha;\beta) et de rayon R est l'ensemble des points M de coordonnées (x;y) tels que (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2.

Soit A  le point du plan de coordonnées (4;5).

Le cercle de centre A  et de rayon 3 admet pour équation :

(x−4)^2+(y−5)^2=3^2,

soit (x−4)^2+(y−5)^2=9.

Soit R  un nombre réel quelconque.

L'ensemble des points M(x;y) du plan tels que (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R est :

  • le cercle de centre A(\alpha;\beta) et de rayon \sqrt{R} si R>0 ;
  • le point A(\alpha;\beta) si R=0 ;
  • l'ensemble vide si R<0.

L'ensemble des points M(x;y) du plan tels que (x−1)^2+(y−10)^2=3 est le cercle de centre A(1;10) et de rayon \sqrt{3}.

III

Les fonctions polynômes du second degré

Fonction polynôme du second degré

  • Une fonction f définie sur \mathbb{R}, dont l'expression peut s'écrire sous la forme f(x)=ax^2+bx+c, où a, b, c sont des réels tels que a\neq 0, est appelée fonction polynôme du second degré ou trinôme.
  • La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est appelée parabole.
  • On appelle sommet de la parabole le point S marquant l'extremum de la fonction.
  • La fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=−3x^2+\dfrac{2}{3}x−1 est une fonction polynôme du second degré.

En effet, f(x) est bien de la forme ax^2+bx+c avec a=−3, b=\dfrac{2}{3} et c=−1.

  • La fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x)=(x−2)^2-x^2−5 n'est pas une fonction polynôme du second degré.

En effet, pour tout réel x, g(x)=x^2−4x+4-x^2−5=−4x−1.

Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression f(x)=ax^2+bx+c (avec a\neq 0).

  • Si a>0, la parabole représentant f est orientée « vers le haut » ; autrement dit, la fonction f est d'abord décroissante, puis croissante.
  • Si a<0, la parabole représentant f est orientée « vers le bas » ; autrement dit, la fonction f est d'abord croissante, puis décroissante.

Voici les courbes représentatives de trois fonctions polynômes du second degré d'expressions :

f(x)=3x^2+12x+12

g(x)=2x^2−4x−2

h(x)=-x^2+6x−9

-
  • Si a >0, l'ordonnée du sommet S est un maximum pour la fonction f.
  • Si a<0, l'ordonnée du sommet est un minimum pour f.

Avec les notations précédentes, le sommet S de la parabole représentative de f a pour coordonnées (\alpha;\beta).

On obtient \alpha=\dfrac{-b}{2a} et \beta est la valeur de l'extremum, c'est-à-dire f(\alpha).

Soit f la fonction polynôme du second degré définie sur \mathbb{R} par f(x)=5x^2−4x+9.

On a donc, pour tout réel x, f(x)=ax^2+bx+c, avec a=5, b=−4 et c=9.

Posons \alpha=\dfrac{-b}{2a} et \beta=f(\alpha).

Alors \alpha=\dfrac{-(−4)}{2\times 5}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}.

\beta=f\left( \dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{41}{5}

Ainsi la forme canonique de f(x) est :

f(x)=5\left( x-\dfrac{2}{5}\right)^2+\dfrac{41}{5}

Le sommet de la parabole représentant f est le point S\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{41}{5}\right).

Avec les notations précédentes, on a, pour tout réel x :

f(\alpha-x)=f(\alpha+x)

Avec les notations précédentes, la parabole représentant f admet un axe de symétrie : 

la droite d'équation x=\alpha, c'est-à-dire la droite d'équation x=\dfrac{-b}{2a}.

L'axe de symétrie de la parabole représentant une fonction polynôme du second degré est donc la droite parallèle à l'axe des ordonnées et passant par le sommet de la parabole.

Soit f la fonction polynôme du second degré définie sur \mathbb{R} par
f(x)=−8x^2+x+3.

On a donc f(x)=ax^2+bx+c avec a=−8, b=1 et c=3.

L'abscisse du sommet de la parabole représentant f est :
\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{−1}{2\times (−8)}=\dfrac{1}{16}

La parabole représentant f admet un axe de symétrie, la droite d'équation
x=\dfrac{1}{16}.