Démontrer que deux droites sont perpendiculairesMéthode

Méthode 1

Avec des vecteurs normaux de chaque droite

Deux droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont orthogonales si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

Soient \left(d\right) et \left(d'\right) les droites d'équations cartésiennes respectives 2x+y-3=0 et -x+2y+4=0.

Démontrer que \left(d\right) et \left(d'\right) sont perpendiculaires.

Etape 1

Déterminer un vecteur normal de chaque droite

D'après le cours, si une droite \left(d\right) a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix} est un vecteur normal de \left(d\right).

On détermine les cordonnées d'un vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} normal à \left(d\right) et d'un vecteur \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} normal à \left(d'\right).

On sait qu'une droite \left(d\right) a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix} est un vecteur normal de \left(d\right).

Or la droite \left(d\right) a pour équation cartésienne 2x+y-3=0.

Donc un vecteur normal de \left(d\right) est \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \end{pmatrix}

De même la droite \left(d'\right) a pour équation cartésienne -x+2y+4=0.

Donc un vecteur normal de \left(d'\right) est \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}

Etape 2

Rappeler le cours

On rappelle que deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.

D'après le cours, deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.

Etape 3

Calculer le produit scalaire

On calcule donc le produit scalaire \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} .

On calcule le produit scalaire \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} :

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 2\times \left(-1\right) +1 \times 2

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0

Etape 4

Conclure

  • Si le produit scalaire est nul, les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont perpendiculaires.
  • Sinon, les droites \left(d\right) et \left(d'\right) ne sont pas perpendiculaires.

Le produit scalaire \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} étant nul, les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont perpendiculaires.

Méthode 2

Avec les vecteurs directeurs de chaque droite

Deux droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Soient \left(d\right) et \left(d'\right) les droites d'équations cartésiennes respectives 4x+2y+13=0 et 3x-6y+5=0.

Démontrer que \left(d\right) et \left(d'\right) sont perpendiculaires.

Etape 1

Déterminer un vecteur directeur de chaque droite

D'après le cours, si une droite \left(d\right) a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix} est un vecteur directeur de \left(d\right).

On détermine les cordonnées d'un vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} directeur de \left(d\right) et d'un vecteur \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} directeur de \left(d'\right).

On sait qu'une droite \left(d\right) a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix} est un vecteur directeur de \left(d\right).

Or la droite \left(d\right) a pour équation cartésienne 4x+2y+13=0.

Donc un vecteur directeur de \left(d\right) est \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 4 \end{pmatrix}.

De même la droite \left(d'\right) a pour équation cartésienne 3x-6y+5=0.

Donc un vecteur directeur de \left(d'\right) est \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 6 \cr\cr 3 \end{pmatrix}.

Etape 2

Rappeler le cours

On rappelle que deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.

D'après le cours, deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.

Etape 3

Calculer le produit scalaire

On calcule le produit scalaire \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}.

On calcule le produit scalaire \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} :

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = -2\times 6 +4\times 3

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0

Etape 4

Conclure

  • Si le produit scalaire est nul, les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont perpendiculaires.
  • Sinon, les droites \left(d\right) et \left(d'\right) ne sont pas perpendiculaires.

Le produit scalaire \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} étant nul, les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont perpendiculaires.

Méthode 3

Avec un vecteur normal et un vecteur directeur

Deux droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont orthogonales si un vecteur normal de \left(d\right) et un vecteur directeur de \left(d'\right) sont colinéaires.

Soient \left(d\right) et \left(d'\right) les droites d'équations cartésiennes respectives 4x-14y+1=0 et 7x+2y=0.

Démontrer que \left(d\right) et \left(d'\right) sont perpendiculaires.

Etape 1

Déterminer un vecteur directeur et un vecteur normal

D'après le cours, si une droite \left(d\right) a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix} est un vecteur directeur et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix} est un vecteur normal de \left(d\right).

On détermine les cordonnées d'un vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} normal à \left(d\right) et d'un vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} directeur de \left(d'\right).

On sait qu'une droite \left(d\right) a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix} est un vecteur directeur et \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix} un vecteur normal de \left(d\right).

Or la droite \left(d\right) a pour équation cartésienne 4x-14y+1=0.

Donc un vecteur normal de \left(d\right) est \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr -14 \end{pmatrix}.

De plus, la droite \left(d'\right) a pour équation cartésienne 7x+2y=0.

Donc un vecteur directeur de \left(d'\right) est \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 7 \end{pmatrix}.

Etape 2

Démontrer la colinéarité des vecteurs

D'après le cours, deux vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si :

xy'-x'y = 0

En utilisant cette formule, on démontre que les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.

Deux vecteurs \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} sont colinéaires si xy' -x'y=0.

On calcule :

4\times 7 - \left(-2\right) \times \left(-14\right) =28 -28 = 0

Donc les vecteurs \overrightarrow{n} et \overrightarrow{u} sont colinéaires.

Etape 3

Conclure

Si les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires, les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont perpendiculaires.

Donc les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont perpendiculaires.

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