Démontrer que deux droites sont parallèlesMéthode

Méthode 1

Avec des vecteurs normaux de chaque droite

Deux droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

Soient \left(d\right) et \left(d'\right) les droites d'équations cartésiennes respectives 2x-y+3=0 et -4x+2y+7=0.

Démontrer que \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.

Etape 1

Déterminer un vecteur normal de chaque droite

D'après le cours, si une droite \left(d\right) a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix} est un vecteur normal de \left(d\right).

On détermine les coordonnées d'un vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} normal à \left(d\right) et d'un vecteur \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} normal à \left(d'\right).

On sait qu'une droite \left(d\right) a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix} est un vecteur normal de \left(d\right).

Or la droite \left(d\right) a pour équation cartésienne : 2x-y+3=0.

Donc un vecteur normal de \left(d\right) est \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \end{pmatrix}.

De même la droite \left(d'\right) a pour équation cartésienne : -4x+2y+7=0.

Donc un vecteur normal de \left(d'\right) est \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr 2 \end{pmatrix}.

Etape 2

Démontrer la colinéarité des vecteurs

D'après le cours, deux vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si :

xy'-x'y = 0

En utilisant cette formule, on démontre que les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.

Deux vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} sont colinéaires si xy' -x'y=0.

On calcule :

2\times 2 - \left(-4\right) \times \left(-1\right) =4-4= 0

Donc les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.

Etape 3

Conclure

Si les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires, les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.

Donc les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.

Méthode 2

Avec des vecteurs directeurs de chaque droite

Deux droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Soient \left(d\right) et \left(d'\right) les droites d'équations cartésiennes respectives 5x+2y+1=0 et -15x-6y+7=0.

Démontrer que \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.

Etape 1

Déterminer un vecteur directeur de chaque droite

D'après le cours, si une droite \left(d\right) a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix} est un vecteur directeur de \left(d\right).

On détermine les coordonnées d'un vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} directeur de \left(d\right) et d'un vecteur \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} directeur de \left(d'\right).

On sait qu'une droite \left(d\right) a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix} est un vecteur directeur de \left(d\right).

Or la droite \left(d\right) a pour équation cartésienne 5x+2y+1=0.

Donc un vecteur directeur de \left(d\right) est \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 5 \end{pmatrix}.

De même la droite \left(d'\right) a pour équation cartésienne -15x-6y+7=0.

Donc un vecteur directeur de \left(d'\right) est \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 6 \cr\cr -15 \end{pmatrix}.

Etape 2

Démontrer la colinéarité des vecteurs

D'après le cours, deux vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si :

xy'-x'y = 0

En utilisant cette formule, on démontre que les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.

Deux vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} sont colinéaires si xy' -x'y=0.

On calcule :

\left(-2\right)\times \left(-15\right) - 6 \times 5 =30-30= 0

Donc les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.

Etape 3

Conclure

Si les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires, les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.

Donc les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.

Méthode 3

Avec un vecteur normal et un vecteur directeur

Deux droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles si un vecteur normal de \left(d\right) et un vecteur directeur de \left(d'\right) sont orthogonaux.

Soient \left(d\right) et \left(d'\right) les droites d'équations cartésiennes respectives 4x-6y+11=0 et -12x+18y+5=0.

Démontrer que \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.

Etape 1

Déterminer un vecteur directeur et un vecteur normal

D'après le cours, si une droite \left(d\right) a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix} est un vecteur directeur et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix} est un vecteur normal de \left(d\right).

On détermine les coordonnées d'un vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} normal à \left(d\right) et d'un vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} directeur de \left(d'\right).

On sait qu'une droite \left(d\right) a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix} est un vecteur directeur et \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix} un vecteur normal de \left(d\right).

Or la droite \left(d\right) a pour équation cartésienne 4x-6y+11=0.

Donc un vecteur normal de \left(d\right) est \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr -6 \end{pmatrix}.

De même la droite \left(d'\right) a pour équation cartésienne -12x+18y+5=0.

Donc un vecteur directeur de \left(d'\right) est \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -18 \cr\cr -12 \end{pmatrix}.

Etape 2

Démontrer l'orthogonalité des vecteurs

On rappelle que deux droites sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur directeur de l'une est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre, c'est-à-dire si et seulement si le produit scalaire de ces vecteurs est nul.

On calcule donc le produit scalaire \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}.

D'après le cours, deux droites sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur directeur de l'une est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre, c'est-à-dire si et seulement si le produit scalaire de ces vecteurs est nul.

Ici :

\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} = 4\times\left(-18\right) +\left(-6\right) \times \left(-12\right)

\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} = -72 + 72

\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} = 0

Etape 3

Conclure

Si leur produit scalaire est nul, les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.

Le produit scalaire \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} étant nul, les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.