Démontrer que deux droites sont parallèlesMéthode

Méthode 1

Avec des vecteurs normaux de chaque droite

Deux droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

Soient \left(d\right) et \left(d'\right) les droites d'équations cartésiennes respectives 2x-y+3=0 et -4x+2y+7=0.

Démontrer que \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.

Etape 1

Déterminer un vecteur normal de chaque droite

D'après le cours, si une droite \left(d\right) a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix} est un vecteur normal de \left(d\right).

On détermine les coordonnées d'un vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} normal à \left(d\right) et d'un vecteur \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} normal à \left(d'\right).

On sait qu'une droite \left(d\right) a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix} est un vecteur normal de \left(d\right).

Or la droite \left(d\right) a pour équation cartésienne : 2x-y+3=0.

Donc un vecteur normal de \left(d\right) est \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \end{pmatrix}.

De même la droite \left(d'\right) a pour équation cartésienne : -4x+2y+7=0.

Donc un vecteur normal de \left(d'\right) est \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr 2 \end{pmatrix}.

Etape 2

Démontrer la colinéarité des vecteurs

D'après le cours, deux vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si :

xy'-x'y = 0

En utilisant cette formule, on démontre que les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.

Deux vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} sont colinéaires si xy' -x'y=0.

On calcule :

2\times 2 - \left(-4\right) \times \left(-1\right) =4-4= 0

Donc les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.

Etape 3

Conclure

Si les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires, les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.

Donc les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.

Méthode 2

Avec des vecteurs directeurs de chaque droite

Deux droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Soient \left(d\right) et \left(d'\right) les droites d'équations cartésiennes respectives 5x+2y+1=0 et -15x-6y+7=0.

Démontrer que \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.

Etape 1

Déterminer un vecteur directeur de chaque droite

D'après le cours, si une droite \left(d\right) a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix} est un vecteur directeur de \left(d\right).

On détermine les coordonnées d'un vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} directeur de \left(d\right) et d'un vecteur \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} directeur de \left(d'\right).

On sait qu'une droite \left(d\right) a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix} est un vecteur directeur de \left(d\right).

Or la droite \left(d\right) a pour équation cartésienne 5x+2y+1=0.

Donc un vecteur directeur de \left(d\right) est \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 5 \end{pmatrix}.

De même la droite \left(d'\right) a pour équation cartésienne -15x-6y+7=0.

Donc un vecteur directeur de \left(d'\right) est \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 6 \cr\cr -15 \end{pmatrix}.

Etape 2

Démontrer la colinéarité des vecteurs

D'après le cours, deux vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si :

xy'-x'y = 0

En utilisant cette formule, on démontre que les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.

Deux vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} sont colinéaires si xy' -x'y=0.

On calcule :

\left(-2\right)\times \left(-15\right) - 6 \times 5 =30-30= 0

Donc les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.

Etape 3

Conclure

Si les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires, les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.

Donc les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.

Méthode 3

Avec un vecteur normal et un vecteur directeur

Deux droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles si un vecteur normal de \left(d\right) et un vecteur directeur de \left(d'\right) sont orthogonaux.

Soient \left(d\right) et \left(d'\right) les droites d'équations cartésiennes respectives 4x-6y+11=0 et -12x+18y+5=0.

Démontrer que \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.

Etape 1

Déterminer un vecteur directeur et un vecteur normal

D'après le cours, si une droite \left(d\right) a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix} est un vecteur directeur et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix} est un vecteur normal de \left(d\right).

On détermine les coordonnées d'un vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} normal à \left(d\right) et d'un vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} directeur de \left(d'\right).

On sait qu'une droite \left(d\right) a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix} est un vecteur directeur et \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix} un vecteur normal de \left(d\right).

Or la droite \left(d\right) a pour équation cartésienne 4x-6y+11=0.

Donc un vecteur normal de \left(d\right) est \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr -6 \end{pmatrix}.

De même la droite \left(d'\right) a pour équation cartésienne -12x+18y+5=0.

Donc un vecteur directeur de \left(d'\right) est \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -18 \cr\cr -12 \end{pmatrix}.

Etape 2

Démontrer l'orthogonalité des vecteurs

On rappelle que deux droites sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur directeur de l'une est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre, c'est-à-dire si et seulement si le produit scalaire de ces vecteurs est nul.

On calcule donc le produit scalaire \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}.

D'après le cours, deux droites sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur directeur de l'une est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre, c'est-à-dire si et seulement si le produit scalaire de ces vecteurs est nul.

Ici :

\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} = 4\times\left(-18\right) +\left(-6\right) \times \left(-12\right)

\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} = -72 + 72

\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} = 0

Etape 3

Conclure

Si leur produit scalaire est nul, les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.

Le produit scalaire \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} étant nul, les droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles.

Questions fréquentes

Quelles sont les matières disponibles sur Kartable ?

Sur Kartable, l'élève accède à toutes les matières principales de la primaire au lycée, y compris pour les spécialités et les options. Mathématiques, physique-chimie, SVT, sciences, français, littérature, histoire, géographie, enseignement moral et civique, SES, philosophie, anglais, allemand et espagnol.
Inscrivez-vous

Les cours sont-ils conformes aux programmes officiels de l'Education nationale ?

L'intégralité des cours sur Kartable est rédigée par des professeurs de l'Éducation nationale et est conforme au programme en vigueur, incluant la réforme du lycée de l'année 2019-2020.
Choisissez votre formule

L'élève peut-il accéder à tous les niveaux ?

Sur Kartable, l'élève peut accéder à toutes les matières dans tous les niveaux de son choix. Ainsi, il peut revenir sur les notions fondamentales qu'il n'aurait pas comprises les années précédentes et se perfectionner.
Plus d'info

Kartable est-il gratuit ?

L'inscription gratuite donne accès à 10 contenus (cours, exercices, fiches ou quiz). Pour débloquer l'accès illimité aux contenus, aux corrections d'exercices, mode hors-ligne et téléchargement en PDF, il faut souscrire à l'offre Kartable Premium.
Plus d'info

Qui rédige les cours de Kartable ?

L'intégralité des contenus disponibles sur Kartable est conçue par notre équipe pédagogique, composée de près de 200 enseignants de l'Éducation nationale que nous avons sélectionnés.
Afficher plus

Qu'est ce que le service Prof en ligne ?

L'option Prof en ligne est un service de chat en ligne entre élèves et professeurs. Notre Prof en ligne répond à toutes les questions sur les cours, exercices, méthodologie et aide au devoirs, pour toutes les classes et dans toutes les matières. Le service est ouvert du lundi au vendredi de 16h à 19h pour les membres ayant souscrit à l'option.
Choisissez votre formule