Déterminer une équation d'un cercleMéthode

Méthode 1

Si on connaît le centre et le rayon du cercle

On peut déterminer une équation d'un cercle dont on connaît le centre O\left(x_O; y_O\right) et le rayon R.

Donner une équation du cercle de centre A\left(2;-3\right) et de rayon 4.

Etape 1

Rappeler la formule de l'équation réduite d'un cercle

On rappelle que la formule de l'équation réduite d'un cercle de centre A\left(x_A; y_A\right) et de rayon r est :

\left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2 = r^2

La formule de l'équation réduite d'un cercle de centre A\left(x_A; y_A\right) et de rayon r est :

\left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2 = r^2

Etape 2

Rappeler le centre et le rayon du cercle

On rappelle les coordonnées du centre ainsi que le rayon du cercle.

Ici, le centre du cercle est le point A\left(2;-3\right) et son rayon est 4.

Etape 3

Appliquer la formule

On remplace la valeur de R et les coordonnées du centre dans l'équation réduite :

\left(x-x_o\right)^2+\left(y-y_o\right)^2 = R^2

On en déduit que le cercle de centre A\left(2;-3\right) et de rayon 4 a pour équation réduite :

\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2 = 16

Méthode 2

Si on connaît deux points diamétralement opposés du cercle

On peut déterminer une équation d'un cercle de diamètre \left[ AB \right], si l'on connaît les coordonnées des deux points A et B.

Donner une équation du cercle de diamètre \left[ AB \right] avec A\left(3;-2\right) et B\left(-1;4\right).

Etape 1

Mettre sous forme d'équation l'appartenance au cercle

On énonce qu'un point M\left(x;y\right) appartient au cercle de diamètre \left[ AB\right] si et seulement si \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}= 0.

Un point M\left(x;y\right) appartient au cercle de diamètre \left[ AB\right] si et seulement si \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}= 0.

Etape 2

Déterminer les coordonnées de \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BM}.

On détermine les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BM}.

On a A\left(x_A;y_A\right) , B\left(x_B; y_B\right) et M\left(x;y\right).

Donc :

  • \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-x_A \cr\cr y-y_A \end{pmatrix}
  • \overrightarrow{BM}\begin{pmatrix} x-x_B \cr\cr y-y_B \end{pmatrix}

On a A\left(3;-2\right) , B\left(-1; 4\right) et M\left(x;y\right).

Donc :

  • \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-3 \cr\cr y+2\end{pmatrix}
  • \overrightarrow{BM}\begin{pmatrix} x+1 \cr\cr y-4 \end{pmatrix}
Etape 3

Calculer le produit scalaire

On exprime le produit scalaire \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} en fonction des coordonnées.

Ainsi :

\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=\left(x-3\right)\left(x+1\right) +\left(y+2\right)\left(y-4\right)

Etape 4

Faire apparaître les identités remarquables

\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0

\Leftrightarrow \left(x-x_A\right)\left(x-x_B\right) +\left(y-y_A\right)\left(y-y_B\right) = 0

On développe l'équation. On obtient :

x^2+ax+y^2+by +c= 0

On fait apparaître les identités remarquables. L'équation devient :

\left(x+\dfrac{a}{2}\right)^2- \left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{b}{2}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2}\right)^2+c= 0

\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0

\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+1\right) +\left(y+2\right)\left(y-4\right)=0

\Leftrightarrow x^2+x-3x-3+y^2-4y+2y-8=0

\Leftrightarrow x^2-2x+y^2-2y-11=0

On reconnaît que :

  • x^2-2x= \left(x-1\right)^2-1
  • y^2-2y= \left(y-1\right)^2-1

L'équation devient donc :

\left(x-1\right)^2-1+\left(y-1\right)^2-1-11=0

Etape 5

Isoler les constantes

On isole finalement les constantes dans le membre de droite. On obtient l'équation du cercle :

\left(x+\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{b}{2}\right)^2= \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{b}{2}\right)^2 -c

On isole les constantes et on obtient finalement l'équation du cercle :

\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2 =13

Etape 6

Conclure sur le centre et le rayon

Comme on connaît l'équation réduite du cercle on peut déterminer son centre et son rayon.

On en déduit que le cercle a pour centre I\left(1;1\right) et pour rayon r = \sqrt{13}.

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