Déterminer une équation d'un cercle Méthode

Sommaire

Méthode 1Si on connaît le centre et le rayon du cercle 1Rappeler la formule de l'équation réduite d'un cercle 2Rappeler le centre et le rayon du cercle 3Appliquer la formuleMéthode 2Si on connaît deux points diamétralement opposés du cercle 1Mettre sous forme d'équation l'appartenance au cercle 2Déterminer les coordonnées de \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BM}. 3Calculer le produit scalaire 4Faire apparaître les identités remarquables 5Isoler les constantes 6Conclure sur le centre et le rayon
Méthode 1

Si on connaît le centre et le rayon du cercle

On peut déterminer une équation d'un cercle dont on connaît le centre O\left(x_O; y_O\right) et le rayon R.

Donner une équation du cercle de centre A\left(2;-3\right) et de rayon 4.

Etape 1

Rappeler la formule de l'équation réduite d'un cercle

On rappelle que la formule de l'équation réduite d'un cercle de centre A\left(x_A; y_A\right) et de rayon r est :

\left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2 = r^2

La formule de l'équation réduite d'un cercle de centre A\left(x_A; y_A\right) et de rayon r est :

\left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2 = r^2

Etape 2

Rappeler le centre et le rayon du cercle

On rappelle les coordonnées du centre ainsi que le rayon du cercle.

Ici, le centre du cercle est le point A\left(2;-3\right) et son rayon est 4.

Etape 3

Appliquer la formule

On remplace la valeur de R et les coordonnées du centre dans l'équation réduite :

\left(x-x_o\right)^2+\left(y-y_o\right)^2 = R^2

On en déduit que le cercle de centre A\left(2;-3\right) et de rayon 4 a pour équation réduite :

\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2 = 16

Méthode 2

Si on connaît deux points diamétralement opposés du cercle

On peut déterminer une équation d'un cercle de diamètre \left[ AB \right], si l'on connaît les coordonnées des deux points A et B.

Donner une équation du cercle de diamètre \left[ AB \right] avec A\left(3;-2\right) et B\left(-1;4\right).

Etape 1

Mettre sous forme d'équation l'appartenance au cercle

On énonce qu'un point M\left(x;y\right) appartient au cercle de diamètre \left[ AB\right] si et seulement si \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}= 0.

Un point M\left(x;y\right) appartient au cercle de diamètre \left[ AB\right] si et seulement si \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}= 0.

Etape 2

Déterminer les coordonnées de \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BM}.

On détermine les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BM}.

On a A\left(x_A;y_A\right) , B\left(x_B; y_B\right) et M\left(x;y\right).

Donc :

  • \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-x_A \cr\cr y-y_A \end{pmatrix}
  • \overrightarrow{BM}\begin{pmatrix} x-x_B \cr\cr y-y_B \end{pmatrix}

On a A\left(3;-2\right) , B\left(-1; 4\right) et M\left(x;y\right).

Donc :

  • \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-3 \cr\cr y+2\end{pmatrix}
  • \overrightarrow{BM}\begin{pmatrix} x+1 \cr\cr y-4 \end{pmatrix}
Etape 3

Calculer le produit scalaire

On exprime le produit scalaire \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} en fonction des coordonnées.

Ainsi :

\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=\left(x-3\right)\left(x+1\right) +\left(y+2\right)\left(y-4\right)

Etape 4

Faire apparaître les identités remarquables

\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0

\Leftrightarrow \left(x-x_A\right)\left(x-x_B\right) +\left(y-y_A\right)\left(y-y_B\right) = 0

On développe l'équation. On obtient :

x^2+ax+y^2+by +c= 0

On fait apparaître les identités remarquables. L'équation devient :

\left(x+\dfrac{a}{2}\right)^2- \left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{b}{2}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2}\right)^2+c= 0

\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0

\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+1\right) +\left(y+2\right)\left(y-4\right)=0

\Leftrightarrow x^2+x-3x-3+y^2-4y+2y-8=0

\Leftrightarrow x^2-2x+y^2-2y-11=0

On reconnaît que :

  • x^2-2x= \left(x-1\right)^2-1
  • y^2-2y= \left(y-1\right)^2-1

L'équation devient donc :

\left(x-1\right)^2-1+\left(y-1\right)^2-1-11=0

Etape 5

Isoler les constantes

On isole finalement les constantes dans le membre de droite. On obtient l'équation du cercle :

\left(x+\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{b}{2}\right)^2= \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{b}{2}\right)^2 -c

On isole les constantes et on obtient finalement l'équation du cercle :

\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2 =13

Etape 6

Conclure sur le centre et le rayon

Comme on connaît l'équation réduite du cercle on peut déterminer son centre et son rayon.

On en déduit que le cercle a pour centre I\left(1;1\right) et pour rayon r = \sqrt{13}.