On considère la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N} , u_n=\dfrac{-n^2+4}{n^2+1}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n \to +\infty}u_n ?
On est devant une forme indéterminée du type \dfrac{\infty}{\infty}.
Afin de lever cette indétermination, on transforme l'expression de u_n en factorisant le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré.
Transformation de l'expression
u_n=\dfrac{-n^2+4}{n^2+1}
u_n=\dfrac{-n^2\left(1-\dfrac{4}{n^2}\right)}{n^2\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)}=-\dfrac{1-\dfrac{4}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n^2}}
Détermination de la limite
Or, on a :
- \lim\limits_{n \to +\infty}-\dfrac{4}{n^2}=0
- \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n^2}=0
Par somme, \lim\limits_{n \to +\infty}\left( 1-\dfrac{4}{n^2}\right)=1, et \lim\limits_{n \to -\infty}\left( 1+\dfrac{1}{n^2}\right)=1
Donc, par quotient, \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1-\dfrac{4}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n^2}}=1
Ainsi, par produit :
\lim\limits_{n \to +\infty}-1\times\dfrac{1-\dfrac{4}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n}}=-1
\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=-1
On considère la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N} , u_n=\dfrac{n^2+n-1}{n+3}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n \to +\infty}u_n ?
On considère la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N} , u_n=\dfrac{n^3+n^2-8n}{-n^2+3}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n \to +\infty}u_n ?
On considère la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N} , u_n=\dfrac{n^4-n^2-n}{n^3+n^2}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n \to +\infty}u_n ?
On considère la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N} , u_n=3n^3-8n^2-5
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n \to +\infty}u_n ?
On considère la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N} , u_n=\dfrac{n^3+n^2-12}{n^3-6n^2+n+1}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n \to +\infty}u_n ?