La méthode de Monte-Carlo est une méthode faisant intervenir des tirages aléatoires pour estimer une valeur numérique.
On chercher à estimer la valeur de \pi.
Pour cela, on utilise la figure suivante :
Quelle est l'équation du cercle de centre (0;0) et de rayon 1 ?
L'équation d'un cercle de centre (x_1;y_1) et de rayon R est la suivante :
(y-y_1)^2+(x-x_1)^2=R^2
Ici :
y_1=x_1=0 et R=1
L'équation du cercle de centre (0;0) et de rayon 1 est donc :
y^2+x^2=1
Quelle est la fonction f qui permet de caractériser le quart de cercle C de la figure de l'énoncé ?
L'arc de cercle de la figure est la portion du cercle de centre (0;0) et de rayon 1 pour y compris entre 0 et 1.
Ainsi on a :
y^2+x^2=1
y^2=1-x^2
y=\sqrt{1-x^2} ou y=-\sqrt{1-x^2}
Or, dans le cas présent, y est positif car compris entre 0 et 1.
La fonction f qui permet de caractériser le quart de cercle C est donc y=\sqrt{1-x^2}.
On admet que la probabilité qu'un point soit dans une surface (incluse dans le carré) est égale au rapport de l'aire de cette surface sur celle du carré.
Soit un point I dont les coordonnées sont tirées au hasard dans le carré ABCD.
On note E l'événement : « Le point I est dans le quart de cercle ».
Quelle est la relation entre la probabilité de E et le nombre \pi ?
On admet que la probabilité qu'un point soit dans une surface (incluse dans le carré) est égale au rapport de l'aire de cette surface sur celle du carré.
Donc :
P(E) = \dfrac{A_C}{A_{ABCD}}
Or :
A_{ABCD}=1\times1
et
A_{C}=\dfrac{\pi \times 1^2}{4}
A_{C}=\dfrac{\pi}{4}
Donc :
P(E)=\dfrac{\pi }{4}
La relation entre le probabilité de E et le nombre \pi est donc P(E) = \dfrac{\pi}{4} .
Un algorithme a tiré 10 000 points au hasard dans le carré ABCD et a compté que 7 891 points étaient dans le quart de cercle C.
Comment peut-on estimer \pi grâce à ce résultat ?
Grâce à l'algorithme, on obtient une estimation de P(E).
P(E) \approx \dfrac{\text{7 891}}{\text{10 000}}
Or, on a montré que :
P(E) = \dfrac{\pi}{4}
Donc :
\pi = 4P(E)
Donc :
pi \approx 4\times \dfrac{\text{7 891}}{\text{10 000}}
Grâce au résultat de l'algorithme, on peut donc estimer que \pi \approx 3{,}16.