On étudie la situation suivante :
On considère une expérience où un joueur lance 4 fois un dé équilibré cubique à 6 faces.
On note S l'événement : le résultat du lancer est un 6.
On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où le joueur a obtenu un 6.
Lors d'un lancer unique, quelle est la probabilité, notée p, d'obtenir un 6 ?
Le dé est équilibré, donc les probabilités d'obtenir chacun des numéros sont égales.
Ainsi :
p=\dfrac{1}{6}
La probabilité d'obtenir un 6 lors d'un lancer est donc :
p=\dfrac{1}{6}
Quel arbre de probabilités représente la succession des 4 épreuves permettant de compter le nombre d'événements S ?
On répète 4 fois la même épreuve, donc le motif élémentaire est le suivant :
Ainsi, l'arbre de probabilité qui représente la succession des 4 épreuves est le suivant :
Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ?
On veut connaître la loi de probabilité de la variable aléatoire X, c'est-à-dire connaître l'ensemble des valeurs que peut prendre X et leurs probabilités.
X compte le nombre de fois où le joueur a obtenu un 6.
Le joueur effectue 4 lancers. Il peut donc obtenir : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ou 4 fois un 6.
Grâce à l'arbre de probabilité, on peut aisément calculer chacune des probabilités :
X=0 ne peut être obtenu que dans un cas, celui où le joueur ne fait jamais 6 :
P(X=0) = \dfrac{5}{6}\times\dfrac{5}{6}\times\dfrac{5}{6}\times\dfrac{5}{6}\ = \dfrac{625}{\text{1 296}}
X=1 est obtenu quand le joueur effectue un seul 6. Il y a quatre branches dans l'arbre où le joueur effectue un seul 6 :
P(X=1) = 4\times \dfrac{5}{6}\times\dfrac{5}{6}\times\dfrac{5}{6}\times\dfrac{1}{6}\ = \dfrac{500}{\text{1 296}}
X=2 est obtenu quand le joueur effectue deux 6. Il y a 6 branches dans notre arbre où le joueur effectue deux 6 :
P(X=2) = 6\times \dfrac{5}{6}\times\dfrac{5}{6}\times\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6}\ = \dfrac{150}{\text{1 296}}
X=3 est obtenu quand le joueur effectue trois 6. Il y a 4 branches dans l'arbre où le joueur effectue trois 6 :
P(X=3) = 4\times \dfrac{5}{6}\times\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6}\ = \dfrac{20}{\text{1 296}}
X=4 ne peut être obtenu que dans un cas, celui où le joueur ne fait que des 6 :
P(X=4) = \dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6}\ = \dfrac{1}{\text{1 296}}
Ainsi, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est la suivante :
| x_i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P(X=x_i) | \dfrac{625}{\text{1 296}} | \dfrac{500}{\text{1 296}} | \dfrac{150}{\text{1 296}} | \dfrac{20}{\text{1 296}} | \dfrac{1}{\text{1 296}} |