Probabilités conditionnelles et indépendanceCours

I

Les probabilités conditionnelles

On appelle probabilité conditionnelle la probabilité qu'un événement soit réalisé sachant qu'un autre a déjà ou non été réalisé. Les événements situés au moins en deuxième rang dans un arbre probabiliste dépendent de la réalisation, ou non, des événements du rang précédent.

A

Définition des probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles

A  et B  sont deux événements d'une même expérience aléatoire tels que P(A)\neq 0.

La probabilité que B  se réalise sachant que A  est réalisé est le nombre noté P_A(B) et défini par :

P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}

On parle de probabilités conditionnelles.

Dans un lycée comptant 1 200 élèves, il y a 660 filles et 540 garçons. Parmi les filles, on compte 110 externes.

On choisit un élève au hasard parmi les élèves du lycée et on note :

  • F, l'événement « l'élève choisi est une fille »,
  • E, l'événement « l'élève choisi est externe ».

Comme on choisit au hasard, chaque élève a une probabilité égale à \dfrac{1}{\text{1 200}} d'être choisi. C'est un cas d'équiprobabilité. Par conséquent, on obtient :

  • P(F)=\dfrac{660}{\text{1 200}}=\dfrac{11}{20} ;
  • P(E\cap F)=\dfrac{110}{\text{1 200}}=\dfrac{11}{120}.

Ainsi, sachant que l'élève choisi est une fille, la probabilité qu'elle soit externe est :

P_F(E)=\dfrac{P(E\cap F)}{P(F)} 

P_F(E)=\dfrac{\dfrac{11}{120}}{\dfrac{11}{20}}

P_F(E)=\dfrac{11}{120}\times \dfrac{20}{11}

P_F(E)=\dfrac{20}{120}=\dfrac{1}{6}

On peut utiliser un tableau pour calculer les probabilités conditionnelles.

L'exemple précédent peut être traité avec le tableau suivant comme tableau de départ :

  Externes Non externes Total
Filles 110   660
Garçons   480 540
Total     1200

En le complétant, on obtient :

  Externes Non externes Total
Filles 110 550 660
Garçons 60 480 540
Total 170 1030 1200

La probabilité P_F(E) correspond à la probabilité de choisir un élève externe sachant que l'élève choisi est une fille.

Autrement dit, P_F(E) correspond à la probabilité de choisir un élève externe parmi les filles.

Le choix étant équiprobable, on a donc :

P_F(E)=\dfrac{\text{Nombre de filles externes}}{\text{Nombre de filles}}

P_F(E)=\dfrac{110}{660}

P_F(E)=\dfrac{1}{6}

Il ne faut pas confondre P_A(B) avec P(A\cap B).

Dans un lycée comptant 1 200 élèves, il y a 660 filles et 540 garçons. Parmi les filles, on compte 110 externes. On choisit un élève au hasard dans le lycée.

On note A l'événement "l'élève choisi est un garçon" et B l'événement "l'élève choisi est externe".

  • P(A\cap B) correspond à la probabilité de choisir un garçon externe parmi tous les élèves du lycée.
  • P_A(B) correspond à la probabilité de choisir un garçon externe parmi les garçons.
B

La lecture d'un arbre pondéré

Un arbre pondéré permet de représenter une situation probabiliste qui comporte des probabilités conditionnelles.

La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un même nœud est égale à 1.

Dans un lycée comptant 800 élèves, 55% sont des filles. Parmi les filles, 10% sont internes. Le pourcentage est le même chez les garçons.

On choisit un élève au hasard dans ce lycée  et admet que ces choix sont équiprobables.

On note F (resp. I) l'événement "l'élève choisi est une fille (resp. interne)".

On obtient l'arbre probabiliste suivant :

-
  • La somme des probabilités des deux premières branches (c'est-à-dire issues de la racine) est 1.
  • La somme des probabilités des probabilités des branches issues du noeud F est 1.
  • La somme des probabilités des probabilités des branches issues du noeud \overline{F} est 1.

La probabilité de l'événement représenté par un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin.

Dans un lycée comptant 800 élèves, 55% sont des filles. Parmi les filles, 10% sont internes. Le pourcentage est le même chez les garçons.

On choisit un élève au hasard dans ce lycée  et admet que ces choix sont équiprobables.

On note F (resp. I) l'événement "l'élève choisi est une fille (resp. interne)".

On obtient l'arbre probabiliste suivant :

-

La probabilité de l'événement  F\cap \overline{I} est :

P\left(F\cap \overline{I}\right)=P(F)\times P_F\left(\overline{I}\right).

On obtient :

P\left(F\cap \overline{I}\right)=0{,}55\times 0{,}90

P\left(F\cap \overline{I}\right)=0{,}495

Avec deux événements A et B de probabilités non nulles, on obtient :

P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B) ou P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)

On peut également retrouver ces égalités en partant de la définition de probabilités conditionnelles.

Dans un atelier, 2 % des pièces fabriquées étant défectueuses, on décide de procéder à un contrôle. Le contrôle accepte 96 % des pièces bonnes et rejette 98 % des pièces défectueuses.

On choisit une pièce au hasard et admet que ces choix sont équiprobables.

On note A l'événement « la pièce est acceptée », et B  l'événement « la pièce est bonne ».

On obtient l'arbre suivant :

-

La probabilité de l'événement « la pièce est bonne et refusée » est :

P\left( B\cap \overline{A}\right)=P(B)\times P_{B}\left(\overline{A}\right)

P\left( B\cap \overline{A}\right)=0{,}98\times 0{,}04

P\left( B\cap \overline{A}\right)=0{,}0392

II

Les probabilités totales

La formule des probabilités totales permet de déterminer la probabilité d'un événement se trouvant au deuxième niveau d'un arbre probabiliste.

Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire et A_1, A_2, \dots, A_n des événements. Si ces événements sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est égale à \Omega, on dit que :

\{A_1;A_2;\dots;A_n\} forme une partition de l'univers \Omega.

Dans un atelier, 2 % des pièces fabriquées étant défectueuses, on décide de procéder à un contrôle. Le contrôle accepte 96 % des pièces bonnes et rejette 98 % des pièces défectueuses.

On choisit une pièce au hasard et admet que ces choix sont équiprobables.

On note A l'événement « la pièce est acceptée », et B  l'événement « la pièce est bonne ».

Les événements A et \overline{A} forment une partition de l'univers puisque :

A\cap \overline{A}=\varnothing

et A\cup \overline{A}=\Omega.

Soit l'univers \Omega d'une expérience aléatoire et A_1, A_2, \dots, A_n des événements tels que \{A_1;A_2;\dots;A_n\} forme une partition de l'univers \Omega.

Alors, pour tout événement B, on a :

P(B)=P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+\dots+P(B\cap A_n)

Et, si pour tout P(A_i)\neq 0, alors :

P(B)=P(A_1)\times P_{A_1}(B)+P(A_2)\times P_{A_2}(B)+\dots+P(A_n)\times P_{A_n}(B)

Dans un lycée comptant 800 élèves, 55% sont des filles. Parmi les filles, 10% sont internes. Le pourcentage est le même chez les garçons.

On choisit un élève au hasard dans ce lycée  et admet que ces choix sont équiprobables.

On note F (resp. I) l'événement "l'élève choisi est une fille (resp. interne)".

On a : 

F\cap \overline{F}=\varnothing

F\cup \overline{F}=\Omega

Donc F\ et \(\overline{F} forment une partition de l'univers. Par conséquent, on a :

P(I)=P(I\cap F)+P\left(I\cap \overline{F}\right)

P(I)=P(F)\times P_F(I)+P\left(\overline{F}\right)\times P_{\overline{F}}(I)

P(I)=0{,}55\times 0{,}10+0{,}45\times 0{,}10

P(I)=0{,}10

La formule précédente se traduit, dans un arbre pondéré, par la propriété suivante :

La probabilité d'un événement E est la somme des probabilités des chemins aboutissant à E.

Cas particulier avec deux événements

Si A est un événement de probabilité non nulle, alors pour tout événement B, on a :

P(B)=P\left(B\cap A\right)+P\left(B\cap \overline{A}\right)

ou

P(B)=p(A)\times P_A(B)+P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}}(B)

Dans un atelier, 2 % des pièces fabriquées étant défectueuses, on décide de procéder à un contrôle. Le contrôle accepte 96 % des pièces bonnes et rejette 98 % des pièces défectueuses.

On choisit une pièce au hasard et admet que ces choix sont équiprobables.

On note A l'événement « la pièce est acceptée », et B  l'événement « la pièce est bonne ».

\left\{B;\overline{B}\right\} forme une partition de l'univers.

De plus, P(B)\neq 0 et P\left( \overline{B}\right)\neq 0.

Alors, la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans le stock des pièces fabriquées soit acceptée est :

P(A)=p(B)\times P_B(A)+P\left(\overline{B}\right)\times P_{\overline{B}}(A)

P(A)=0{,}98\times 0{,}96+0{,}02\times 0{,}02

P(A)=0{,}9412

III

 L'indépendance de deux événements

La notion d'indépendance de deux événements est fondamentale dans le calcul des probabilités. 

Événements indépendants

On dit que deux événements A et B de probabilités non nulles sont indépendants lorsque :

P\left(A\cap B\right)=P(A)\times P(B)

Dans un lycée comptant 800 élèves, 55 % sont des filles. Parmi les filles, 10 % sont internes. Le pourcentage de garçons internes est le même.

On choisit un élève au hasard dans ce lycée et on admet que ces choix sont équiprobables.

On note  F l'événement « l'élève choisi est une fille », et I l'événement « l'élève choisi est interne ».

On obtient l'arbre probabiliste suivant :

-

On a alors :

  • P(F)=0{,}55
  • P(F\cap I)=P(F)\times P_F(I)=0{,}55\times 0{,}10=0{,}055
  • P\left(\overline{F}\cap I\right)=P\left(\overline{F}\right)\times P_{\overline{F}}(I)=0{,}45\times 0{,}10=0{,}045

 

L'ensemble \left\{F;\overline{F}\right\} formant une partition de l'univers, on a, d'après la formule des probabilités totales :

P(I)=P(F\cap I)+P\left( \overline{F}\cap I\right)=0{,}055+0{,}045=0{,}10

Alors :

  • P(F\cap I)=0{,}055
  • P(F)\times P(I)=0{,}55\times 0{,}10=0{,}055

 

Les événements F et I sont donc indépendants.

P_A(B)=P(B) ou P_B(A)=P(A) signifie la même chose.

Soit A et B sont deux événements de probabilités non nulle. Si A et B sont indépendants, alors \overline{A} et \overline{B} sont également indépendants.

Soit A et B deux événements de probabilités non nulle et indépendants.

Alors P(A\cap B)=P(A)\times P(B).

On en déduit :

P\left(\overline{A}\right)\times P\left(\overline{B}\right)=\left(1-P(A)\right)\times \left(1-P(B)\right)

P\left(\overline{A}\right)\times P\left(\overline{B}\right)=1-P(B)-P(A)+P(A)\times P(B)

P\left(\overline{A}\right)\times P\left(\overline{B}\right)=1-P(B)-P(A)+P(A\cap B) car A et B sont indépendants

Comme A et \overline{A} forment une partition de l'univers, on a, d'après la formule des probabilités totales :

P(B)=P(A\cap B)+P\left(\overline{A}\cap B\right)

On obtient donc :

P\left(\overline{A}\right)\times P\left(\overline{B}\right)=1-P(A\cap B)-P\left(\overline{A}\cap B\right)-P(A)+P(A\cap B)\)

P\left(\overline{A}\right)\times P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(\overline{A}\cap B\right)-P(A)\)

P\left(\overline{A}\right)\times P\left(\overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right)-P\left(\overline{A}\cap B\right)\)

P\left(\overline{A}\right)\times P\left(\overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)

\overline{A} et \overline{B} sont bien indépendants.

Deux événements indépendants ne sont pas nécessairement deux événements non liés, c'est-à-dire sans rapport entre eux.

Dans un lycée comptant 800 élèves, 55 % sont des filles. Parmi les filles, 10 % sont internes. Le pourcentage de garçons internes est le même.

On choisit un élève au hasard dans ce lycée et on admet que ces choix sont équiprobables.

On note  F l'événement « l'élève choisi est une fille », et I l'événement « l'élève choisi est interne ».

On peut vérifier grâce à la définition que les événements F et I sont indépendants.

Ces deux événements ne sont pas sans lien, puisqu'il existe des filles internes dans ce lycée.