Probabilités conditionnelles et indépendanceCours

I

Probabilités conditionnelles

A

Définition

Probabilités conditionnelles

A  et B  sont deux événements d'une même expérience aléatoire tels que P(A)\neq 0.

La probabilité que B  se réalise sachant que A  est réalisé est le nombre noté P_A(B) et défini par :

P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}

Dans un lycée comptant 1 200 élèves, il y a 660 filles et 540 garçons.

Parmi les filles, on compte 110 externes.

On choisit un élève au hasard parmi les élèves du lycée et on note :

  • F, l'événement « l'élève choisi est une fille »,
  • E, l'événement « l'élève choisi est externe ».

Comme on choisit au hasard, chaque élève a une probabilité égale à \dfrac{1}{\text{1 200}} d'être choisi.

Nous sommes dans un cas d'équiprobabilité.

Par conséquent, on obtient :

  • P(F)=\dfrac{660}{\text{1 200}}=\dfrac{11}{20} ;
  • P(E\cap F)=\dfrac{110}{\text{1 200}}=\dfrac{11}{120}.

 

Ainsi, sachant que l'élève choisi est une fille, la probabilité qu'elle soit externe est :

P_F(E)=\dfrac{P(E\cap F)}{P(F)} 

P_F(E)=\dfrac{\dfrac{11}{120}}{\dfrac{11}{20}}

P_F(E)=\dfrac{11}{120}\times \dfrac{20}{11}

P_F(E)=\dfrac{20}{120}=\dfrac{1}{6}

L'exemple précédent aurait pu être traité avec le tableau suivant comme tableau de départ :

  Externes Non externes Total
Filles 110   660
Garçons   480 540
Total     1200

 

En le complétant, on obtient :

  Externes Non externes Total
Filles 110 550 660
Garçons 60 480 540
Total 170 1030 1200

La probabilité P_F(E) correspond à la probabilité de choisir un élève externe sachant que l'élève choisi est une fille.

Autrement dit, P_F(E) correspond à la probabilité de choisir un élève externe parmi les filles.

Le choix étant équiprobable, on a donc :

P_F(E)=\dfrac{\text{Nombre de filles externes}}{\text{Nombre de filles}}

P_F(E)=\dfrac{110}{660}

P_F(E)=\dfrac{1}{6}

On retrouve le résultat de l'exemple.

B

Règles d'utilisation d'un arbre pondéré

La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un même nœud est égale à 1.

La probabilité de l'événement représenté par un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin.

En particulier, on obtient, avec deux événements A et B de probabilités non nulles :

P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B) ou P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)

On pouvait également retrouver ces égalités à partir de la première définition du chapitre.

Dans un atelier, 2 % des pièces fabriquées étant défectueuses, on décide de procéder à un contrôle.

Le contrôle accepte 96 % des pièces bonnes et rejette 98 % des pièces défectueuses.

On choisit une pièce au hasard et admet que ces choix sont équiprobables.

On note A l'événement « la pièce est acceptée », et B  l'événement « la pièce est bonne ».

On obtient l'arbre suivant :

-

La probabilité de l'événement « la pièce est bonne et refusée » est :

P\left( B\cap \overline{A}\right)=P(B)\times P_{B}\left(\overline{A}\right)

P\left( B\cap \overline{A}\right)=0,98\times 0,04

P\left( B\cap \overline{A}\right)=0,0392

II

Probabilités totales

Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire et soient A_1, A_2, \dots, A_n des événements.

Si ces événements sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est égale à \Omega, on dit que :

\{A_1;A_2;\dots;A_n\} forme une partition de l'univers \Omega.

Soient l'univers \Omega d'une expérience aléatoire et A_1, A_2, \dots, A_n des événements tels que \{A_1;A_2;\dots;A_n\} forme une partition de l'univers \Omega.

Alors, pour tout événement B, on a :

P(B)=P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+\dots+P(B\cap A_n)

Et, si pour tout P(A_i)\neq 0, alors :

P(B)=P(A_1)\times P_{A_1}(B)+P(A_2)\times P_{A_2}(B)+\dots+P(A_n)\times P_{A_n}(B)

La formule précédente se traduit, dans un arbre pondéré, par la propriété suivante :

La probabilité d'un événement E est la somme des probabilités des chemins aboutissant à E.

Cas particulier avec deux événements

Si A est un événement de probabilité non nulle, alors pour tout événement B, on a :

P(B)=P\left(B\cap A\right)+P\left(B\cap \overline{A}\right)

ou, P(B)=p(A)\times P_A(B)+P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}}(B)

Reprenons l'exemple des pièces fabriquées dans un atelier.

\left\{B;\overline{B}\right\} forme une partition de l'univers.

De plus, P(B)\neq 0 et P\left( \overline{B}\right)\neq 0.

Alors, la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans le stock des pièces fabriquées soit acceptée est :

P(A)=p(B)\times P_B(A)+P\left(\overline{B}\right)\times P_{\overline{B}}(A)

P(A)=0,98\times 0,96+0,02\times 0,02

P(A)=0,9412

III

 Indépendance de deux événements

Indépendance

On dit que deux événements A et B de probabilités non nulles sont indépendants lorsque que :

P\left(A\cap B\right)=P(A)\times P(B)

Il revient au même de dire P_A(B)=P(B) ou P_B(A)=P(A).

Dans un lycée comptant 800 élèves, 55 % sont des filles.

Parmi les filles, 10 % sont internes.

Le pourcentage de garçons internes est le même.

On choisit un élève au hasard dans ce lycée et on admet que ces choix sont équiprobables.

Notons F l'événement « l'élève choisi est une fille », et I l'événement « l'élève choisi est interne ».

On obtient l'arbre probabiliste suivant :

-

On a alors :

  • P(F)=0,55
  • P(F\cap I)=P(F)\times P_F(I)=0,55\times 0,10=0,055
  • P\left(\overline{F}\cap I\right)=P\left(\overline{F}\right)\times P_{\overline{F}}(I)=0,45\times 0,10=0,045

 

L'ensemble \left\{F;\overline{F}\right\} formant une partition de l'univers, on a, d'après la formule des probabilités totales :

P(I)=P(F\cap I)+P\left( \overline{F}\cap I\right)=0,055+0,045=0,10

Alors :

  • P(F\cap I)=0,055
  • P(F)\times P(I)=0,55\times 0,10=0,055

 

Les événements F et I sont donc indépendants.

Soient A et B sont deux événements de probabilités non nulle.

Si A et B sont indépendants, alors \overline{A} et B sont également indépendants.

C'est également le cas des événements A et \overline{B} ou de \overline{A} et \overline{B}.

Deux événements indépendants ne sont pas nécessairement deux événements non liés, c'est-à-dire sans rapport entre eux.