Un sac contient 10 boules noires et 10 boules blanches.
On effectue deux tirages successifs d'une boule sans remise après le premier tirage.
On veut connaître la probabilité de tirer une boule blanche au second tirage.
On note :
- B_1 l'événement : « La boule est blanche au premier tirage »
- B_2 l'événement : « La boule est blanche au second tirage »
- N_1 l'événement : « La boule est noire au premier tirage »
- N_2 l'événement : « La boule est noire au second tirage »
Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche au premier tirage ?
Lors du premier tirage, il y a 10 boules noires et 10 boules blanches, donc 20 boules au total.
On a donc :
P(B_1) = \frac{10}{20}
P(B_1) = \frac{1}{2}
La probabilité de tirer une boule blanche au premier tirage est donc :
P(B_1) = \frac{1}{2}
Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche au second tirage sachant qu'au premier tirage une boule blanche a été tirée ?
Lors du premier tirage, une boule blanche a été tirée, elle n'est pas remise dans le sac. Il reste donc 9 boules blanches et 10 boules noires, soit 19 boules au total.
On a donc :
P(B_2 |B_1) = \frac{9}{19}
La probabilité de tirer une boule blanche au second tirage sachant qu'une boule blanche a été tirée au premier tirage est :
P(B_2 |B_1) = \frac{9}{19}
Quel arbre pondéré représente la succession de ces deux épreuves dépendantes ?
On a montré que P(B_1) = \frac{1}{2}.
Donc :
P(N_1) = 1- P(B_1) = \frac{1}{2}
On a également montré que P(B_2 |B_1) = \frac{9}{19} .
Donc :
P(N_2 |B_1) = 1 - P(B_2 |B_1) = \frac{10}{19}
Pour calculer P(N_2 |N_1) , on retrouve le même raisonnement que dans la question précédente.
Donc :
P(N_2 |N_1) = \frac{9}{19}
P(B_2 |N_1) = \frac{10}{19}
Ainsi, on obtient l'arbre pondéré suivant :
Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche au second tirage ?
On connaît les probabilités suivantes :
P(B_1) = P(N_1) = \frac{1}{2}
P(B_2 |B_1) = \frac{9}{19}
P(N_2 |B_1) =\frac{10}{19}
P(N_2 |N_1) = \frac{9}{19}
P(B_2 |N_1) = \frac{10}{19}
On sait aussi que la probabilité de l'événement représenté par un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin.
Or, l'événement B_2 est sur deux chemins, il faut donc additionner la probabilité de ces deux chemins.
P(B_2) = P(B_1) \times P(B_2 |B_1) + P(N_1) \times P(B_2 |N_1)
P(B_2) = \frac{1}{2} \times \frac{9}{19} + \frac{1}{2} \times \frac{10}{19}
P(B_2) = \frac{9}{38} + \frac{10}{38}
P(B_2) = \frac{19}{38}
P(B_2) = \frac{1}{2}
La probabilité de tirer une boule blanche au second tirage est donc :
P(B_2) = \frac{1}{2}