On s'intéresse à l'épreuve suivante :
On lance un dé équilibré deux fois de suite et on enregistre le résultat des lancers.
Quel arbre décrit correctement cette épreuve ?
Pour construire l'arbre de probabilité décrivant l'épreuve que l'on étudie, il faut penser à toutes les issues possibles à chaque étape du processus. Ici, au cours du premier lancer, les issues possibles sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Puis au second tirage, les issues possibles sont à nouveau : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ainsi, on construit un arbre à deux niveaux avec, chaque fois, les issues possibles décrites ci-dessus.
On nomme X_1 le nombre obtenu au premier lancer et X_2 le nombre obtenu au second lancer.
Quelle est la valeur de P(X_1=5 \cap X_2=3) ?
On étudie dans cet exercice deux lancers de dés qui sont indépendants, c'est-à-dire que l'issue du premier n'influe pas sur l'issue du second.
D'après le cours, si A et B sont des événements indépendants, on a :
P(A \cap B) =P(A) \times P(B)
Donc, ici :
P(X_1=5 \cap X_2=3) = P(X_1 = 5) \times P(X_2 = 3)
Enfin, pour chaque lancer, il y a 6 issues possibles qui sont équiprobables car le dé est équilibré.
Donc, finalement :
P(X_1)=5 = P(X_2=3) = \dfrac{1}{6}
Donc :
P(X_1=5 \cap X_2=3) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}
Ainsi :
P(X_1=5 \cap X_2=3) = \dfrac{1}{36}
On nomme X la variable aléatoire qui compte la somme des deux lancers.
Donc X = X_1 +X_2 .
Quelle est la valeur de P(X=10) ?
On peut, pour cette question, s'aider de l'arbre de probabilité. Il faut trouver les issues aux lancers qui permettent d'arriver à une somme de 10 à la fin du second tirage. Pour cela, les combinaisons possibles sont :
{4;6} ; {5;5} et {6;4}
Il y a donc trois possibilités pour que X=10.
Or, en généralisant le résultat obtenu à la question précédente, pour tous i,j dans {1,2,3,4,5,6} :
P(X_1 = i \cap X_2=j ) = \dfrac{1}{36}
Ainsi, on a donc :
P(X=10) = P((X_1=4 \cap X_2 = 6) \cup (X_1=5 \cap X_2 = 5) \cup (X_1=6 \cap X_2 = 4)) = P(X_1=4 \cap X_2 = 6) + P(X_1=5 \cap X_2 = 5) + P(X_1=6 \cap X_2 = 4)
car les événements sont incompatibles, c'est-à-dire que les deux ne peuvent pas se produire au cours de la même tentative.
Finalement :
P(X=10) = \dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{36} +\dfrac{1}{36} = \dfrac{1}{12}
Donc P(X=10) = \dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{36} +\dfrac{1}{36} = \dfrac{1}{12} .