Soit \left(O;I;J\right) un repère orthonormal du plan.
On considère le point A\left(-\dfrac{1}{2};-2\right) et la droite D d'équation : y=-2x-1.
B est le point de D qui a la même ordonnée que A. C est l'intersection de D avec l'axe des abscisses \left(Ox\right). Enfin, soit H le pied de la hauteur du triangle ABC issue du sommet A.
Quelles sont les coordonnées des points B et C ?
Coordonnées du point B
L'ordonnée du point B est égale à celle du point A : on a donc B \left(x_{B};-2\right).
De plus, B appartient à la droite D, ses coordonnées vérifient donc l'équation de D :
y_{B}=-2x_{B}-1\Leftrightarrow-2=-2x_{B}-1\Leftrightarrow x_{B}=\dfrac{1}{2}
Coordonnées du point C
Le point C appartient à l'axe des abscisses (Ox), son ordonnée est donc égale à 0 : C \left(x_{C};0\right).
De plus, C appartient également à la droite D, ses coordonnées vérifient donc l'équation de D :
y_{C}=-2x_{C}-1\Leftrightarrow0=-2x_{C}-1\Leftrightarrow x_{C}=-\dfrac{1}{2}
B \left(\dfrac{1}{2};-2\right) et C \left(-\dfrac{1}{2};0\right).
Quelle est l'aire du triangle ABC ?
On remarque que :
- Les points A et C ont même abscisse, donc la droite \left(AC\right) est parallèle à \left(Oy\right)
- Les points A et B ont même ordonnée, donc la droite \left(AB\right) est parallèle à \left(Ox\right)
On en déduit que les droites \left(AB\right) et \left(AC\right) sont perpendiculaires, et donc que le triangle ABC est rectangle en A.
Son aire est donc égale à : \mathcal{A}\left(ABC\right)=\dfrac{AB\times AC}{2}
Or on a :
- AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)^{2}+\left(-2-\left(-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{1}=1
- AC=\sqrt{\left(x_{C}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{C}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)^{2}+\left(0-\left(-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{4}=2
On peut aussi calculer :
\mathcal{A}\left(ABC\right)=\dfrac{1\times 2}{2}=1
L'aire du triangle ABC est donc égale à 1.
Quelle est la valeur de la longueur AH ?
\left(AH\right) étant une hauteur du triangle ABC, on peut également exprimer l'aire de ABC de la manière suivante :
\mathcal{A}\left(ABC\right)=\dfrac{AH\times BC}{2}
Disposant des coordonnées des points B et C, il est aisé de calculer la longueur BC. Sachant que l'aire du triangle ABC est égale à 1, on pourra ainsi en déduire la longueur AH.
BC=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}
On a finalement :
\dfrac{AH\times \sqrt{5}}{2}=1\Leftrightarrow AH=\dfrac{2}{\sqrt{5}}
La longueur AH est donc égale à : \dfrac{2}{\sqrt{5}}.