Soit \left(O;I;J\right) un repère orthonormal du plan.
On considère le point A\left(4;4\right) et la droite D d'équation : y=-\dfrac{3}{4}x+3.
B est le point de D qui a la même ordonnée que A. C est l'intersection de D avec l'axe des abscisses \left(Ox\right). Enfin, soit H le pied de la hauteur du triangle ABC issue du sommet A.
Quelles sont les coordonnées des points B et C ?
Coordonnées du point B
L'ordonnée du point B est égale à celle du point A : on a donc B \left(x_{B};4\right).
De plus, B appartient à la droite D, ses coordonnées vérifient donc l'équation de D :
y_{B}=-\dfrac{3}{4}x_{B}+3\Leftrightarrow4=-\dfrac{3}{4}x_{B}+3\Leftrightarrow x_{B}=-\dfrac{4}{3}
Coordonnées du point C
Le point C appartient à l'axe des abscisses (Ox), son ordonnée est donc égale à 0 : C \left(x_{C};0\right).
De plus, C appartient également à la droite D, ses coordonnées vérifient donc l'équation de D :
y_{C}=-\dfrac{3}{4}x_{C}+3\Leftrightarrow0=-\dfrac{3}{4}x_{C}+3\Leftrightarrow x_{C}=4
B \left(-\dfrac{4}{3};4\right) et C \left(4;0\right).
Quelle est l'aire du triangle ABC ?
On remarque que :
- Les points A et C ont même abscisse, donc la droite \left(AC\right) est parallèle à \left(Oy\right)
- Les points A et B ont même ordonnée, donc la droite \left(AB\right) est parallèle à \left(Ox\right)
On en déduit que les droites \left(AB\right) et \left(AC\right) sont perpendiculaires, et donc que le triangle ABC est rectangle en A.
Son aire est donc égale à : \mathcal{A}\left(ABC\right)=\dfrac{AB\times AC}{2}
Or on a :
- AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(-\dfrac{4}{3}-4\right)^{2}+\left(4-4\right)^{2}}=\dfrac{16}{3}
- AC=\sqrt{\left(x_{C}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{C}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(4-4\right)^{2}+\left(0-4\right)^{2}}=\sqrt{16}=4
On peut aussi calculer :
\mathcal{A}\left(ABC\right)=\dfrac{\dfrac{16}{3}\times 4}{2}=\dfrac{32}{3}
L'aire du triangle ABC est donc égale à \dfrac{32}{3}.
Quelle est la valeur de la longueur AH ?
\left(AH\right) étant une hauteur du triangle ABC, on peut également exprimer l'aire de ABC de la manière suivante :
\mathcal{A}\left(ABC\right)=\dfrac{AH\times BC}{2}
Disposant des coordonnées des points B et C, il est aisé de calculer la longueur BC. Sachant que l'aire du triangle ABC est égale à \dfrac{32}{3}, on pourra ainsi en déduire la longueur AH.
BC=\sqrt{\dfrac{256}{9}+16}=\sqrt{\dfrac{400}{9}}=\dfrac{20}{3}
On a finalement :
\dfrac{AH\times \dfrac{20}{3}}{2}=\dfrac{32}{3}\Leftrightarrow AH=\dfrac{16}{5}
La longueur AH est donc égale à : \dfrac{16}{5}.