Soit \left(O;I;J\right) un repère orthonormal du plan.
On considère le point A\left(3;-3\right) et la droite D d'équation : y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{9}{2}.
B est le point de D qui a la même ordonnée que A. C est l'intersection de D avec l'axe des abscisses \left(Ox\right). Enfin, soit H le pied de la hauteur du triangle ABC issue du sommet A.
Quelles sont les coordonnées des points B et C ?
Coordonnées du point B
L'ordonnée du point B est égale à celle du point A : on a donc B \left(x_{B};-3\right).
De plus, B appartient à la droite D, ses coordonnées vérifient donc l'équation de D :
y_{B}=\dfrac{3}{2}x_{B}-\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow-3=\dfrac{3}{2}x_{B}-\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow x_{B}=1
Coordonnées du point C
Le point C appartient à l'axe des abscisses (Ox), son ordonnée est donc égale à 0 : C \left(x_{C};0\right).
De plus, C appartient également à la droite D, ses coordonnées vérifient donc l'équation de D :
y_{C}=\dfrac{3}{2}x_{C}-\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow0=\dfrac{3}{2}x_{C}-\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow x_{C}=3
B \left(1;-3\right) et C \left(3;0\right).
Quelle est l'aire du triangle ABC ?
On remarque que :
- Les points A et C ont même abscisse, donc la droite \left(AC\right) est parallèle à \left(Oy\right)
- Les points A et B ont même ordonnée, donc la droite \left(AB\right) est parallèle à \left(Ox\right)
On en déduit que les droites \left(AB\right) et \left(AC\right) sont perpendiculaires, et donc que le triangle ABC est rectangle en A.
Son aire est donc égale à : \mathcal{A}\left(ABC\right)=\dfrac{AB\times AC}{2}
Or on a :
- AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(1-3\right)^{2}+\left(-3+3\right)^{2}}=\sqrt{4}=2
- AC=\sqrt{\left(x_{C}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{C}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-3\right)^{2}+\left(0-\left(-3\right)\right)^{2}}=3
On peut aussi calculer :
\mathcal{A}\left(ABC\right)=\dfrac{3\times 2}{2}=3
L'aire du triangle ABC est donc égale à 3.
Quelle est la valeur de la longueur AH ?
\left(AH\right) étant une hauteur du triangle ABC, on peut également exprimer l'aire de ABC de la manière suivante :
\mathcal{A}\left(ABC\right)=\dfrac{AH\times BC}{2}
Disposant des coordonnées des points B et C, il est aisé de calculer la longueur BC. Sachant que l'aire du triangle ABC est égale à 3, on pourra ainsi en déduire la longueur AH.
BC=\sqrt{1+36}=\sqrt{37}
On a finalement :
\dfrac{AH\times \sqrt{37}}{2}=3\Leftrightarrow AH=\dfrac{6}{\sqrt{37}}=\dfrac{6\sqrt{37}}{37}
La longueur AH est donc égale à : \dfrac{6\sqrt{37}}{37}.