Soit un repère orthonormé.
On considère les points : A\left(-1;3\right), B\left(2;1\right) et C\left(4;4\right).
Quelle est la nature du triangle ABC ?
D'après la figure, on peut supposer que le triangle ABC est rectangle en A.
On peut calculer le carré des longueurs des côtés :
- AB^{2} =\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}=\left(2-\left(-1\right)\right)^{2}+\left(1-3\right)^{2}=13
- AC^{2}=\left(4-\left(-1\right)\right)^{2}+\left(4-3\right)^{2}=26
- BC^{2}=\left(4-2\right)^{2}+\left(4-1\right)^{2}=13
Puisque AB=BC, le triangle ABC est donc isocèle en B.
De plus, on constate que AC^{2}=AB^{2}+BC^{2} donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est aussi rectangle en B.
On peut donc conclure que le triangle ABC est rectangle isocèle en B.
Quel est le centre \Omega et le rayon r du cercle C circonscrit au triangle ABC ?
ABC étant rectangle en B, le diamètre de son cercle circonscrit C est son hypoténuse \left[AC\right].
On en déduit donc que le centre \Omega de C est le milieu de \left[AC\right] :
\Omega\left(\dfrac{x_{A}+x_{C}}{2},\dfrac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)
Soit \Omega\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{7}{2}\right)
Par ailleurs, le rayon de C est donc la moitié de AC : r=\dfrac{\sqrt{26}}{2}.
C est le cercle de centre \Omega\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{7}{2}\right) et de rayon \dfrac{\sqrt{26}}{2}.
Quelle proposition démontre que le point D\left(-1;3\right) appartient à C ?
D appartient à C si et seulement si : \Omega D=r,
Or :
\Omega D^{2}=\left(-1-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\left(3-\dfrac{7}{2}\right)^{2}
Or une longueur est positive. D'où :
\Omega D=\dfrac{\sqrt{26}}{2}=r
Donc le point D appartient au cercle C.