Soit un repère orthonormé.
On considère les points : A\left(2;5\right), B\left(6;2\right) et C\left(4;1\right).
Quelle est la nature du triangle ABC ?
D'après la figure, on peut supposer que le triangle ABC est rectangle en A.
On peut calculer le carré des longueurs des côtés :
- AB^{2} =\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}=\left(6-2\right)^{2}+\left(2-5\right)^{2}=25
- AC^{2}=\left(4-2\right)^{2}+\left(1-5\right)^{2}=20
- BC^{2}=\left(4-6\right)^{2}+\left(1-2\right)^{2}=5
On remarque que : AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut donc en conclure que le triangle ABC est rectangle en C.
Quel est le centre \Omega et le rayon r du cercle C circonscrit au triangle ABC ?
ABC étant rectangle en C, le diamètre de son cercle circonscrit C est son hypoténuse \left[AB\right] .
On en déduit donc que le centre \Omega de C est le milieu de \left[AB\right] :
\Omega\left(\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2},\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)
Soit \Omega\left(4,\dfrac{7}{2}\right)
Par ailleurs, le rayon de C est donc la moitié de AC : r=\dfrac{5}{2}.
C est le cercle de centre \Omega\left(4,\dfrac{7}{2}\right) et de rayon \dfrac{5}{2}.
Quelle proposition montre que le point D\left(2;5\right) appartient à C ?
D appartient à C si et seulement si : \Omega D=r,
Or :
\Omega D^{2}=\left(2-4\right)^{2}+\left(5-\dfrac{7}{2}\right)^{2}
Or une longueur est positive. D'où :
\Omega D=\dfrac{5}{2}=r.
Donc le point D appartient au cercle C.