Soit un repère orthonormé.
On considère les points : A\left(3;2\right), B\left(6;-1\right) et C\left(2;-5\right).
Quelle est la nature du triangle ABC ?
D'après la figure, on peut supposer que le triangle ABC est rectangle en A.
On peut calculer le carré des longueurs des côtés :
- AB^{2} =\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}=\left(6-3\right)^{2}+\left(-1-2\right)^{2}=18
- AC^{2}=\left(2-3\right)^{2}+\left(-5-2\right)^{2}=50
- BC^{2}=\left(2-6\right)^{2}+\left(-5+1\right)^{2}=32
On remarque que : AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut donc en conclure que le triangle ABC est rectangle en B.
Quel est le centre \Omega et le rayon r du cercle C circonscrit au triangle ABC ?
ABC étant rectangle en B, le diamètre de son cercle circonscrit C est son hypoténuse \left[AC\right] .
On en déduit donc que le centre \Omega de C est le milieu de \left[AC\right] :
\Omega\left(\dfrac{x_{A}+x_{C}}{2},\dfrac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)
Soit \Omega\left(\dfrac{5}{2},-\dfrac{3}{2}\right)
Par ailleurs, le rayon de C est donc la moitié de AC : r=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}.
C est le cercle de centre \Omega\left(\dfrac{5}{2},-\dfrac{3}{2}\right) et de rayon \dfrac{5\sqrt{2}}{2}.
Quelle proposition montre que le point D\left(0;1\right) appartient à C ?
D appartient à C si et seulement si : \Omega D=r,
Or :
\Omega D^{2}=\left(0-\dfrac{5}{2}\right)^{2}+\left(1+\dfrac{3}{2}\right)^{2}
Or une longueur est positive. D'où :
\Omega D=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}=r.
Donc le point D appartient au cercle C.