Terminale ES 2015-2016
Kartable
Terminale ES 2015-2016

Montrer qu'une équation du type f(x)=k admet une unique solution

En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, on peut montrer qu'une équation admet une unique solution sur un intervalle.

Montrer que l'équation x32x+1=0 admet une unique solution sur ];1].

Etape 1

Se ramener à une équation du type f(x)=k

On détermine une fonction f telle que l'équation soit équivalente à l'équation f(x)=k.

On pose :

x];1], f(x)=x32x+1

On cherche à montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur ];1].

Etape 2

Dresser le tableau de variations de f

Si l'on cherche à démontrer que l'équation f(x)=k admet une solution unique sur I, on dresse le tableau de variations de f sur I.

On étudie les variations de f au préalable, si cela n'a pas été fait dans les questions précédentes.

On étudie la fonction f sur ];1] :

f est dérivable sur ];1] en tant que restriction d'une fonction polynôme et :

x];1], f(x)=3x22

On étudie le signe de f(x). Pour cela, on résout l'inéquation f(x)>0. Pour tout réel x :

3x22>0

x2>23

x>23 ou x<23

On en déduit, comme 1<23, que f(x)>0 sur ];1]. Ainsi, f est strictement croissante sur ];1].

De plus, on a :

  • limx(x32x+1)=limxx3(12x2+1x3)=
  • limx1(x32x+1)=(1)32×(1)+1=2

On dresse alors le tableau de variations de f :

-
Etape 3

Utiliser corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

On récite les hypothèses :

  • f est continue sur I.
  • f est strictement monotone sur I.
  • Soit J l'intervalle image de I par f, on vérifie que kJ.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=k admet une solution unique sur I.

Sur ];1] :

  • f est continue.
  • f est strictement monotone
  • limxf(x)= et limx1f(x)=2. On a bien 0];2].

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet une solution unique sur ];1].

pub

Demandez à vos parents de vous abonner

Vous ne possédez pas de carte de crédit et vous voulez vous abonner à Kartable.

Vous pouvez choisir d'envoyer un SMS ou un email à vos parents grâce au champ ci-dessous. Ils recevront un récapitulatif de nos offres et pourront effectuer l'abonnement à votre place directement sur notre site.

J'ai une carte de crédit

Vous utilisez un navigateur non compatible avec notre application. Nous vous conseillons de choisir un autre navigateur pour une expérience optimale.