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Montrer qu'une équation du type f(x)=k admet une unique solution

En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, on peut montrer qu'une équation admet une unique solution sur un intervalle.

Montrer que l'équation \(\displaystyle{x^3-2x+1=0}\) admet une unique solution sur \(\displaystyle{\left]-\infty ; -1 \right]}\).

Etape 1

Se ramener à une équation du type \(\displaystyle{f\left(x\right)=k}\)

On détermine une fonction f telle que l'équation soit équivalente à l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = k}\).

On pose :

\(\displaystyle{\forall x \in \left] -\infty ;-1 \right]}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = x^3-2x+1}\)

On cherche à montrer que l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = 0}\) admet une unique solution sur \(\displaystyle{\left] -\infty ;-1 \right]}\).

Etape 2

Dresser le tableau de variations de f

Si l'on cherche à démontrer que l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = k}\) admet une solution unique sur I, on dresse le tableau de variations de f sur I.

On étudie les variations de f au préalable, si cela n'a pas été fait dans les questions précédentes.

On étudie la fonction f sur \(\displaystyle{\left] -\infty ;-1 \right]}\) :

f est dérivable sur \(\displaystyle{\left] -\infty ;-1 \right]}\) en tant que restriction d'une fonction polynôme et :

\(\displaystyle{\forall x \in \left] -\infty ;-1 \right]}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right) = 3x^2-2}\)

On étudie le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\). Pour cela, on résout l'inéquation \(\displaystyle{f'\left(x\right) \gt 0}\). Pour tout réel x :

\(\displaystyle{3x^2-2\gt 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x^2 \gt \dfrac{2}{3}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x \gt \sqrt {\dfrac{2}{3}}}\) ou \(\displaystyle{x \lt -\sqrt {\dfrac{2}{3}}}\)

On en déduit, comme \(\displaystyle{-1 \lt -\sqrt{\dfrac{2}{3}}}\), que \(\displaystyle{f'\left(x\right) \gt 0}\) sur \(\displaystyle{\left] -\infty ;-1 \right]}\). Ainsi, f est strictement croissante sur \(\displaystyle{\left] -\infty ;-1 \right]}\).

De plus, on a :

  • \(\displaystyle{\lim_{x \to- \infty}\left(x^3-2x+1\right)= \lim_{x \to- \infty}x^3\left(1-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)=-\infty}\)
  • \(\displaystyle{\lim_{x \to- 1}\left(x^3-2x+1\right)= \left(-1\right)^3-2\times \left(-1\right) +1=2}\)

On dresse alors le tableau de variations de f :

-
Etape 3

Utiliser corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

On récite les hypothèses :

  • f est continue sur I.
  • f est strictement monotone sur I.
  • Soit J l'intervalle image de I par f, on vérifie que \(\displaystyle{k \in J}\).

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = k}\) admet une solution unique sur I.

Sur \(\displaystyle{\left] -\infty ;-1 \right]}\) :

  • f est continue.
  • f est strictement monotone
  • \(\displaystyle{\lim_{x \to- \infty} f\left(x\right) = -\infty}\) et \(\displaystyle{\lim_{x \to- 1}f\left(x\right)=2}\). On a bien \(\displaystyle{0\in\left] -\infty ;2 \right]}\).

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = 0}\) admet une solution unique sur \(\displaystyle{\left] -\infty ;-1 \right]}\).

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