Déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x)=k

Afin de déterminer le nombre de solutions d'une équation du type \(\displaystyle{f\left(x\right)=k}\) sur I, on utilise le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour chaque intervalle de I sur lequel la fonction est strictement monotone.

Déterminer le nombre de solutions de l'équation \(\displaystyle{x^3+x^2-x+1 = 0}\) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Etape 1

Se ramener à une équation du type \(\displaystyle{f\left(x\right)=k}\)

On détermine une fonction f telle que l'équation soit équivalente à une équation du type \(\displaystyle{f\left(x\right) = k}\).

On pose :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = x^3+x^2-x+1}\)

On cherche à déterminer le nombre de solutions de l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = 0}\) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Etape 2

Dresser le tableau de variations de f

On étudie les variations de f au préalable, si cela n'a pas été fait dans les questions précédentes. On dresse ensuite le tableau de variations de f sur I (limites et extremums locaux inclus).

f est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) en tant que fonction polynôme, et :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right) = 3x^2+2x-1}\)

On étudie le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\). On reconnaît un trinôme du second degré. Son discriminant est :

\(\displaystyle{\Delta = 2^2-4\times 3 \times \left(-1\right)}\)

Donc :

\(\displaystyle{\Delta = 16}\)

\(\displaystyle{\Delta \gt 0}\) donc le trinôme est du signe de a (\(\displaystyle{\gt0}\)) sauf entre les racines que l'on détermine :

\(\displaystyle{x_1 = \dfrac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2-\sqrt{16}}{2\times 3} = \dfrac{-6}{6} = -1}\)
\(\displaystyle{x_2 = \dfrac{-b +\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2+\sqrt{16}}{2\times 3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}}\)

Ainsi, on obtient le signe de la dérivée :

De plus, on a :

\(\displaystyle{\lim_{x \to- \infty}\left(x^3+x^2-x+1\right)= \lim_{x \to- \infty}x^3\left(1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)=-\infty}\)
\(\displaystyle{\lim_{x \to+ \infty}\left(x^3+x^2-x+1\right)= \lim_{x \to+ \infty}x^3\left(1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)=+\infty}\)

Enfin :

\(\displaystyle{f\left(-1\right) = \left(-1\right)^3+\left(-1\right)^2 -\left(-1\right)+1 =2}\)
\(\displaystyle{f\left(\dfrac{1}{3}\right) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 -\left(\dfrac{1}{3}\right)+1 =\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{3}+1 =\dfrac{1}{27}+\dfrac{3}{27}-\dfrac{9}{27}+\dfrac{27}{27} = \dfrac{22}{27}}\)

On dresse le tableau de variations de f sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) :

Etape 3

Déterminer le nombre de solutions de l'équation pour chaque intervalle

On identifie les intervalles \(\displaystyle{I_i \in I}\) sur lesquels la fonction f est strictement monotone. Pour chaque intervalle \(\displaystyle{I_i}\), on procède de la manière suivante :

On justifie que f est continue.
On justifie que f est strictement monotone.
On donne les limites ou les valeurs aux bornes de \(\displaystyle{I_i}\). Soit \(\displaystyle{J_i}\) l'intervalle image de \(\displaystyle{I_i}\) par f, on détermine si \(\displaystyle{k \in J_i}\).

On en conclut :

Si \(\displaystyle{k \notin J_i}\) alors l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = k}\) n'admet pas de solution sur \(\displaystyle{I_i}\).
Si \(\displaystyle{k \in J_i}\) alors d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = k}\) admet une unique solution sur \(\displaystyle{I_i}\).

On répète cette démarche pour chacun des intervalles \(\displaystyle{I_i}\).

On identifie trois intervalles sur lesquels la fonction f est strictement monotone : \(\displaystyle{\left]- \infty ; -1 \right]}\), \(\displaystyle{\left[ -1 ; \dfrac{1}{3}\right]}\) et \(\displaystyle{\left[ \dfrac{1}{3} ; +\infty\right[}\). On applique donc le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires trois fois.

Sur \(\displaystyle{\left]- \infty ; -1 \right]}\) :

f est continue.
f est strictement croissante.
\(\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} f\left(x\right)= - \infty}\) et \(\displaystyle{f\left(-1\right) = 2}\). Or \(\displaystyle{0 \in \left]-\infty ; 2 \right]}\).

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = 0}\) admet une unique solution sur \(\displaystyle{\left]- \infty ; -1 \right]}\).

Sur \(\displaystyle{\left[ -1 ; \dfrac{1}{3}\right]}\) :

f est continue.
f est strictement décroissante.
\(\displaystyle{f\left(-1\right) = 2}\) et \(\displaystyle{f\left(\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{22}{27}}\). Or \(\displaystyle{0 \notin \left[\dfrac{22}{27} ; 2 \right]}\).

Donc l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = 0}\) n'admet pas de solution sur \(\displaystyle{\left[ -1 ; \dfrac{1}{3}\right]}\).

Sur \(\displaystyle{\left[ \dfrac{1}{3} ; +\infty\right[}\) :

f est continue.
f est strictement croissante.
\(\displaystyle{f\left(\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{22}{27}}\) et \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} f\left(x\right)= + \infty}\). Or \(\displaystyle{0 \notin \left[\dfrac{22}{7}; +\infty \right[}\).

Donc l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = 0}\) n'admet pas de solution sur \(\displaystyle{\left[ \dfrac{1}{3} ; +\infty\right[}\).

Etape 4

Conclure

On conclut en donnant le nombre total de solutions sur I.

L'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = 0}\) admet donc une unique solution sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Dans le tableau de variations, en suivant les flèches, on peut dès le début déterminer le nombre de solutions de l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = k}\). Il ne reste ensuite qu'à rédiger la réponse de manière organisée.