01 76 38 08 47
Logo Kartable
AccueilParcourirRechercheSe connecter

Pour profiter de 10 contenus offerts.

Logo Kartable
AccueilParcourirRechercheSe connecter

Pour profiter de 10 contenus offerts.

  1. Accueil
  2. Terminale
  3. Mathématiques
  4. Méthode : Déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x)=k

Déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x)=k Méthode

Sommaire

1Se ramener à une équation du type f\left(x\right)=k 2Dresser le tableau de variations de f 3Déterminer le nombre de solutions de l'équation pour chaque intervalle 4Conclure

Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.

Dernière modification : 31/08/2020 - Conforme au programme 2024-2025

Afin de déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f\left(x\right)=k sur I, on utilise le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour chaque intervalle de I sur lequel la fonction est strictement monotone.

Déterminer le nombre de solutions de l'équation x^3+x^2-x+1 = 0 sur \mathbb{R}.

Etape 1

Se ramener à une équation du type f\left(x\right)=k

On détermine une fonction f telle que l'équation soit équivalente à une équation du type f\left(x\right) = k.

On pose :

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = x^3+x^2-x+1

On cherche à déterminer le nombre de solutions de l'équation f\left(x\right) = 0 sur \mathbb{R}.

Etape 2

Dresser le tableau de variations de f

On étudie les variations de f au préalable, si cela n'a pas été fait dans les questions précédentes. On dresse ensuite le tableau de variations de f sur I (limites et extremums locaux inclus).

f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme, et :

\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = 3x^2+2x-1

On étudie le signe de f'\left(x\right). On reconnaît un trinôme du second degré. Son discriminant est :

\Delta = 2^2-4\times 3 \times \left(-1\right)

Donc :

\Delta = 16

\Delta \gt 0 donc le trinôme est du signe de a (\gt0) sauf entre les racines que l'on détermine :

  • x_1 = \dfrac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2-\sqrt{16}}{2\times 3} = \dfrac{-6}{6} = -1
  • x_2 = \dfrac{-b +\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2+\sqrt{16}}{2\times 3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}

Ainsi, on obtient le signe de la dérivée :

-

De plus, on a :

  • \lim\limits_{x \to- \infty}\left(x^3+x^2-x+1\right)= \lim\limits_{x \to- \infty}x^3\left(1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)=-\infty
  • \lim\limits_{x \to+ \infty}\left(x^3+x^2-x+1\right)= \lim\limits_{x \to+ \infty}x^3\left(1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)=+\infty

Enfin :

  • f\left(-1\right) = \left(-1\right)^3+\left(-1\right)^2 -\left(-1\right)+1 =2
  • f\left(\dfrac{1}{3}\right) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 -\left(\dfrac{1}{3}\right)+1 =\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{3}+1 =\dfrac{1}{27}+\dfrac{3}{27}-\dfrac{9}{27}+\dfrac{27}{27} = \dfrac{22}{27}

On dresse le tableau de variations de f sur \mathbb{R} :

-
Etape 3

Déterminer le nombre de solutions de l'équation pour chaque intervalle

On identifie les intervalles I_i \in I sur lesquels la fonction f est strictement monotone. Pour chaque intervalle I_i, on procède de la manière suivante :

  • On justifie que f est continue.
  • On justifie que f est strictement monotone.
  • On donne les limites ou les valeurs aux bornes de I_i. Soit J_i l'intervalle image de I_i par f, on détermine si k \in J_i.

On en conclut :

  • Si k \notin J_i alors l'équation f\left(x\right) = k n'admet pas de solution sur I_i.
  • Si k \in J_i alors d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f\left(x\right) = k admet une unique solution sur I_i.

On répète cette démarche pour chacun des intervalles I_i.

On identifie trois intervalles sur lesquels la fonction f est strictement monotone : \left]- \infty ; -1 \right], \left[ -1 ; \dfrac{1}{3}\right] et \left[ \dfrac{1}{3} ; +\infty\right[. On applique donc le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires trois fois.

Sur \left]- \infty ; -1 \right] :

  • f est continue.
  • f est strictement croissante.
  • \lim\limits_{x \to -\infty} f\left(x\right)= - \infty et f\left(-1\right) = 2. Or 0 \in \left]-\infty ; 2 \right].

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f\left(x\right) = 0 admet une unique solution sur \left]- \infty ; -1 \right].

Sur \left[ -1 ; \dfrac{1}{3}\right] :

  • f est continue.
  • f est strictement décroissante.
  • f\left(-1\right) = 2 et f\left(\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{22}{27}. Or 0 \notin \left[\dfrac{22}{27} ; 2 \right].

Donc l'équation f\left(x\right) = 0 n'admet pas de solution sur \left[ -1 ; \dfrac{1}{3}\right].

Sur \left[ \dfrac{1}{3} ; +\infty\right[ :

  • f est continue.
  • f est strictement croissante.
  • f\left(\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{22}{27} et \lim\limits_{x \to +\infty} f\left(x\right)= + \infty. Or 0 \notin \left[\dfrac{22}{27}; +\infty \right[.

Donc l'équation f\left(x\right) = 0 n'admet pas de solution sur \left[ \dfrac{1}{3} ; +\infty\right[.

Etape 4

Conclure

On conclut en donnant le nombre total de solutions sur I.

L'équation f\left(x\right) = 0 admet donc une unique solution sur \mathbb{R}.

Dans le tableau de variations, en suivant les flèches, on peut dès le début déterminer le nombre de solutions de l'équation f\left(x\right) = k. Il ne reste ensuite qu'à rédiger la réponse de manière organisée.

La charte éditoriale garantit la conformité des contenus aux programmes officiels de l'Éducation nationale. en savoir plus

Les cours et exercices sont rédigés par l'équipe éditoriale de Kartable, composéee de professeurs certififés et agrégés. en savoir plus

Voir aussi
  • Cours : La continuité
  • Quiz : La continuité
  • Exercice : Connaître les caractéristiques de la continuité
  • Exercice : Déterminer graphiquement si une fonction est continue en un point donné
  • Exercice : Déterminer graphiquement si une fonction est continue sur un intervalle donné
  • Exercice : Décrire la continuité d'une fonction à l'aide de sa représentation graphique
  • Exercice : Déterminer la continuité d'une fonction usuelle
  • Exercice : Déterminer la continuité d'une fonction composée
  • Exercice : Déterminer la continuité d'opérations de fonctions usuelles
  • Exercice : Déterminer la continuité d'opérations de fonctions composées
  • Exercice : Déterminer la limite d'une suite à l'aide son image par une fonction continue
  • Problème : Etudier une suite définie par relation de récurrence avec une fonction usuelle continue
  • Problème : Etudier une suite définie par relation de récurrence avec une fonction composée continue
  • Problème : Etudier une suite définie par relation de récurrence avec des opérations de fonctions usuelles continue
  • Problème : Etudier une suite définie par relation de récurrence avec des opérations de fonctions composée continue
  • Exercice : Connaître le théorème des valeurs intermédiaire
  • Exercice : Déterminer le nombre de solution d'une équation du type f(x) = k à l'aide du tableau de variations de f
  • Exercice : Encadrer une solution d'une équation du type f(x) = k à l'aide du tableau de variations de f
  • Exercice : Déterminer les solutions d'une équation du type f(x) = k avec f une fonction usuelle
  • Exercice : Déterminer les solutions d'une équation du type f(x) = k avec f une fonction composée
  • Exercice : Déterminer les solutions d'une équation du type f(x) = k avec f des opérations de fonctions usuelles
  • Exercice : Déterminer les solutions d'une équation du type f(x) = k avec f des opérations de fonctions composées
  • Problème : Déterminer un point d'intersection par méthode de dichotomie à l'aide d'un algorithme
  • Problème : Déterminer un point d'intersection par méthode de Newton à l'aide d'un algorithme
  • Problème : Déterminer un point d'intersection par méthode des sécantes à l'aide d'un algorithme
  • Méthode : Etudier la continuité d'une fonction en un réel
  • Méthode : Etudier la continuité d'une fonction sur un intervalle
  • Méthode : Montrer qu'une équation du type f(x)=k admet une unique solution
  • Méthode : Ecrire un algorithme qui encadre la solution de l'équation f(x)=0

Nos conseillers pédagogiques sont à votre écoute 7j/7

Nos experts chevronnés sont joignables par téléphone et par e-mail pour répondre à toutes vos questions.
Pour comprendre nos services, trouver le bon accompagnement ou simplement souscrire à une offre, n'hésitez pas à les solliciter.

support@kartable.fr
01 76 38 08 47

Téléchargez l'application

Logo application Kartable
KartableWeb, iOS, AndroidÉducation

4,5 / 5  sur  20259  avis

0.00
app androidapp ios
  • Contact
  • Aide
  • Livres
  • Mentions légales
  • Recrutement

© Kartable 2025