Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Etudier la continuité d'une fonction sur un intervalle

On étudie la continuité d'une fonction sur un intervalle I en particulier lorsque l'expression de cette fonction est différente suivant les valeurs de x.

On considère la fonction f définie sur [2;+[ par :

f(2)=4x>2,f(x)=x24x2

Etudier la continuité de la fonction f sur [2;+[.

Etape 1

Utiliser le cours pour justifier la continuité sur l'intervalle (ou les intervalles)

D'après le cours, on sait que :

  • Les fonctions de références sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
  • Toute fonction construite comme somme, produit, quotient (dont le dénominateur ne s'annule pas sur I) ou composée de deux fonctions continues sur I est continue sur I.

On justifie ainsi la continuité de la fonction sur le ou les intervalle(s) sur le(s)quel(s) elle est définie.

La fonction xx24 est continue sur ]2;+[ en tant que fonction polynôme.

De même, xx2 est continue sur ]2;+[ en tant que fonction polynôme. De plus, elle ne s'annule pas sur ]2;+[.

Par quotient, f est continue sur ]2;+[.
.

Etape 2

Justifier éventuellement la continuité aux points à problème

Pour les éventuels points pour lesquels la fonction est définie d'une autre manière, on étudie la continuité.

Pour cela, on sait que si limxaf(x)=f(a), alors la fonction f est continue en x=a.

f est continue en 2 si et seulement si limx2f(x)=f(2). On a :

  • f(2)=4
  • Pour tout x>2, f(x)=(x2)(x+2)x2=x+2. Ainsi, limx2f(x)=limx2(x+2)=4.

On en déduit que :

limx2f(x)=f(2)

Par conséquent, la fonction f est continue en x=2.

Etape 3

Conclure

On conclut en donnant le ou les intervalle(s) sur le(s)quel(s) la fonction f est continue.

D'après les questions précédentes, f est continue sur ]2;+[ et en x=2.

On en conclut que f est continue sur [2;+[.

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