Terminale S 2016-2017

En vous inscrivant, vous autorisez Kartable à vous envoyer ses communications par email.

ou
Se connecter
Mot de passe oublié ?
ou

Etudier la continuité d'une fonction sur un intervalle

On étudie la continuité d'une fonction sur un intervalle I en particulier lorsque l'expression de cette fonction est différente suivant les valeurs de x.

On considère la fonction f définie sur \(\displaystyle{\left[ 2 ; +\infty \right[}\) par :

\(\displaystyle{\begin{cases} f\left(2\right) = 4 \cr \cr \forall x \gt 2, \;f\left(x\right) =\dfrac{x^2-4}{x-2} \end{cases}}\)

Etudier la continuité de la fonction f sur \(\displaystyle{\left[ 2 ; +\infty \right[}\).

Etape 1

Utiliser le cours pour justifier la continuité sur l'intervalle (ou les intervalles)

D'après le cours, on sait que :

  • Les fonctions de références sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
  • Toute fonction construite comme somme, produit, quotient (dont le dénominateur ne s'annule pas sur I) ou composée de deux fonctions continues sur I est continue sur I.

On justifie ainsi la continuité de la fonction sur le ou les intervalle(s) sur le(s)quel(s) elle est définie.

La fonction \(\displaystyle{x \mapsto x^2-4}\) est continue sur \(\displaystyle{\left]2 ; +\infty \right[}\) en tant que fonction polynôme.

De même, \(\displaystyle{x \mapsto x-2}\) est continue sur \(\displaystyle{\left]2 ; +\infty \right[}\) en tant que fonction polynôme. De plus, elle ne s'annule pas sur \(\displaystyle{\left]2 ; +\infty \right[}\).

Par quotient, f est continue sur \(\displaystyle{\left]2 ; +\infty \right[}\).
.

Etape 2

Justifier éventuellement la continuité aux points à problème

Pour les éventuels points pour lesquels la fonction est définie d'une autre manière, on étudie la continuité.

Pour cela, on sait que si \(\displaystyle{\lim_{x \to a} f\left(x\right) = f\left(a\right)}\), alors la fonction f est continue en \(\displaystyle{x=a}\).

f est continue en 2 si et seulement si \(\displaystyle{\lim_{x \to 2} f\left(x\right)=f\left(2\right)}\). On a :

  • \(\displaystyle{f\left(2\right) =4}\)
  • Pour tout \(\displaystyle{x\gt2}\), \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x-2}=x+2}\). Ainsi, \(\displaystyle{\lim_{x \to 2} f\left(x\right)=\lim_{x \to 2}\left(x+2\right)=4}\).

On en déduit que :

\(\displaystyle{\lim_{x \to 2} f\left(x\right) = f\left(2\right)}\)

Par conséquent, la fonction f est continue en \(\displaystyle{x=2}\).

Etape 3

Conclure

On conclut en donnant le ou les intervalle(s) sur le(s)quel(s) la fonction f est continue.

D'après les questions précédentes, f est continue sur \(\displaystyle{\left]2 ; +\infty \right[}\) et en \(\displaystyle{x=2}\).

On en conclut que f est continue sur \(\displaystyle{\left[2 ; +\infty \right[}\).