Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Montrer que trois points définissent un plan

Trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.

Soient les points A(1;2;0), B(3;4;0) et C(3;1;5).

Déterminer si les points A, B et C définissent un plan.

Etape 1

Rappeler le cours

On rappelle que trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.

Les trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.

Etape 2

En déduire une condition sur la colinéarité

On en déduit que les points A, B et C définissent un plan si et seulement si les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires.

Ainsi, les points A, B et C définissent un plan si et seulement si les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires.

Etape 3

Donner les coordonnées des vecteurs

On calcule les coordonnées des vecteurs AB et AC.

On calcule les coordonnées des vecteurs AB et AC :

  • ABxBxAyByAzBzA soit AB314(2)00 donc AB260
  • ACxCxAyCyAzCzA soit AC311(2)50 donc AC235
Etape 4

Conclure

Si les coordonnées de AB et AC ne sont pas proportionnelles, les points A, B et C définissent un plan.

Les coordonnées de AB et AC ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.

On conclut que les points A, B et C définissent un plan.

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