Première L 2015-2016
Kartable
Première L 2015-2016

Etudier le sens de variation d'une fonction

Pour déterminer le sens de variation d'une fonction sur un intervalle I, on peut comparer les valeurs de f(a) et f(b)a et b sont deux réels de l'intervalle I vérifiant a<b.

Soit f la fonction définie sur [1;+[ pour tout x de [1;+[ par :

f(x)=x2+x+1

Donner le sens de variation de f sur [1;+[.

Etape 1

Poser a et b

On pose a et b deux réels de l'intervalle I vérifiant a<b.

Soient a et b deux réels de [1;+[ vérifiant a<b.

Etape 2

Comparer f(a) et f(b)

On compare les valeurs de f(a) et f(b), si besoin en déterminant le signe de la différence f(b)f(a).

On a :

  • f(a)=a2+a+1
  • f(b)=b2+b+1

Donc :

f(b)f(a)=b2+b+1(a2+a+1)=b2+b+1a2a1

f(b)f(a)=(b2a2)+(ba)

Or, on a :

  • ba>0 car a<b
  • b2a2>0 car 1a<b et la fonction carrée est strictement croissante sur [1;+[.

Donc, finalement, on peut en déduire :

f(b)f(a)>0

Etape 3

Conclure sur les variations de f

  • Si f(a)<f(b), f est strictement croissante sur I.
  • Si f(a)f(b), f est croissante sur I.
  • Si f(a)>f(b), f est strictement décroissante sur I.
  • Si f(a)f(b), f est décroissante sur I.

Si a et b sont deux éléments de [1;+[ vérifiant a<b, alors f(a)<f(b).

On en déduit que la fonction f est strictement croissante sur [1;+[.

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