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Etudier le sens de variation d'une fonction

Pour déterminer le sens de variation d'une fonction sur un intervalle I, on peut comparer les valeurs de \(\displaystyle{f\left( a \right)}\) et \(\displaystyle{f\left( b \right)}\)a et b sont deux réels de l'intervalle I vérifiant \(\displaystyle{a\lt b}\).

Soit f la fonction définie sur \(\displaystyle{\left[ 1;+\infty \right[}\) pour tout x de \(\displaystyle{\left[ 1;+\infty \right[}\) par :

\(\displaystyle{f\left( x \right)=x^2+x+1}\)

Donner le sens de variation de f sur \(\displaystyle{\left[ 1;+\infty \right[}\).

Etape 1

Poser a et b

On pose a et b deux réels de l'intervalle I vérifiant \(\displaystyle{a\lt b}\).

Soient a et b deux réels de \(\displaystyle{\left[ 1;+\infty \right[}\) vérifiant \(\displaystyle{a\lt b}\).

Etape 2

Comparer \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\)

On compare les valeurs de \(\displaystyle{f\left( a \right)}\) et \(\displaystyle{f\left( b \right)}\), si besoin en déterminant le signe de la différence \(\displaystyle{f\left( b \right)-f\left( a \right)}\).

On a :

  • \(\displaystyle{f\left( a \right)=a^2+a+1}\)
  • \(\displaystyle{f\left( b \right)=b^2+b+1}\)

Donc :

\(\displaystyle{f\left( b \right)-f\left( a \right)=b^2+b+1-\left(a^2+a+1\right)=b^2+b+1-a^2-a-1}\)

\(\displaystyle{f\left( b \right)-f\left( a \right)=\left(b^2-a^2\right)+\left(b-a\right)}\)

Or, on a :

  • \(\displaystyle{b-a\gt 0}\) car \(\displaystyle{a\lt b}\)
  • \(\displaystyle{b^2-a^2\gt 0}\) car \(\displaystyle{1\leqslant a\lt b}\) et la fonction carrée est strictement croissante sur \(\displaystyle{\left[ 0;+\infty \right[}\), donc sur \(\displaystyle{\left[ 1;+\infty \right[}\).

Donc, finalement, on peut en déduire :

\(\displaystyle{f\left( b \right)-f\left( a \right) \gt 0}\)

Etape 3

Conclure sur les variations de f

  • Si \(\displaystyle{f\left( a \right)\lt f\left( b \right)}\), f est strictement croissante sur I.
  • Si \(\displaystyle{f\left( a \right)\leqslant f\left( b \right)}\), f est croissante sur I.
  • Si \(\displaystyle{f\left( a \right) \gt f\left( b \right)}\), f est strictement décroissante sur I.
  • Si \(\displaystyle{f\left( a \right) \geqslant f\left( b \right)}\), f est décroissante sur I.

Si a et b sont deux éléments de \(\displaystyle{\left[ 1;+\infty \right[}\) vérifiant \(\displaystyle{a\lt b}\), alors \(\displaystyle{f\left( a \right)\lt f\left( b \right)}\).

On en déduit que la fonction f est strictement croissante sur \(\displaystyle{\left[ 1;+\infty \right[}\).

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