Première L 2015-2016

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Représenter une expérience aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré

On peut décrire une expérience aléatoire en utilisant un arbre de probabilités lorsque l'expérience comporte plusieurs étapes. Celui-ci permet de comprendre l'enchaînement des événements et la probabilité avec laquelle ces événements sont réalisés.

On considère une urne contenant 4 boules numérotées de 1 à 4. On tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne.

  • On note \(\displaystyle{A_i}\) l'événement "la première boule tirée porte le numéro i ". On définit ainsi \(\displaystyle{A_1}\), \(\displaystyle{A_2}\), \(\displaystyle{A_3}\) et \(\displaystyle{A_4}\).
  • On note \(\displaystyle{B_i}\) l'événement "la deuxième boule tirée porte le numéro i ". On définit ainsi \(\displaystyle{B_1}\), \(\displaystyle{B_2}\), \(\displaystyle{B_3}\) et \(\displaystyle{B_4}\).

Dresser un arbre de probabilités représentant la situation.

Etape 1

Identifier les événements étudiés

On détermine dans l'énoncé les différents critères étudiés et les événements associés.

Par exemple, on peut étudier la couleur de cheveux des individus et les événements associés pourront être "être blond", "être brun" et "être roux".

En général, deux critères sont étudiés mais il peut y en avoir plus.

On considère ici deux critères :

  • Le premier numéro tiré, les événements correspondants étant \(\displaystyle{A_1}\), \(\displaystyle{A_2}\), \(\displaystyle{A_3}\) et \(\displaystyle{A_4}\)
  • Le deuxième numéro tiré, les événements correspondants étant \(\displaystyle{B_1}\), \(\displaystyle{B_2}\), \(\displaystyle{B_3}\) et \(\displaystyle{B_4}\)
Etape 2

Tracer les branches de l'arbre

On trace la première branche correspondant au premier critère, puis, à partir de chaque branche, on trace de nouvelles branches correspondant aux différents événements possibles pour le deuxième critère étudié.

On obtient un arbre du type :

-

L'arbre de probabilités aura alors :

  • Sur les 4 premières branches, les événements \(\displaystyle{A_1}\), \(\displaystyle{A_2}\), \(\displaystyle{A_3}\) et \(\displaystyle{A_4}\)
  • Ensuite trois branches partant de chacune des branches précédentes. En effet, comme la boule tirée au première tirage n'est pas remise dans l'urne, il n'en reste que trois pour le deuxième tirage.

On obtient l'arbre suivant :

-
Etape 3

Ajouter les probabilités

Sur chaque branche, on ajoute la probabilité de l'événement correspondant.

On calcule les probabilités :

  • Au premier tirage, il y a 4 boules dans l'urne et chaque boule peut être tirée de manière équiprobable. Donc \(\displaystyle{p\left(A_1\right)=p\left(A_2\right)=p\left(A_3\right)=p\left(A_4\right)= \dfrac{1}{4}}\).
  • Au deuxième tirage, il y n'y a plus que 3 boules dans l'urne donc chacune a la probabilité \(\displaystyle{\dfrac{1}{3}}\) d'être tirée.

On obtient finalement l'arbre de probabilités suivant :

-