Première S 2016-2017
Kartable
Première S 2016-2017

Déterminer une équation d'un cercle

Méthode 1

Si on connaît le centre et le rayon du cercle

On peut déterminer une équation d'un cercle dont on connaît le centre O(xO;yO) et le rayon R.

Donner une équation du cercle de centre A(2;3) et de rayon 4.

Etape 1

Rappeler la formule de l'équation réduite d'un cercle

On rappelle que la formule de l'équation réduite d'un cercle de centre A(xA;yA) et de rayon r est :

(xxA)2+(yyA)2=r2

La formule de l'équation réduite d'un cercle de centre A(xA;yA) et de rayon r est :

(xxA)2+(yyA)2=r2

Etape 2

Rappeler le centre et le rayon du cercle

On rappelle les coordonnées du centre ainsi que le rayon du cercle.

Ici, le centre du cercle est le point A(2;3) et son rayon est 4.

Etape 3

Appliquer la formule

On remplace la valeur de R et les coordonnées du centre dans l'équation réduite :

(xxo)2+(yyo)2=R2

On en déduit que le cercle de centre A(2;3) et de rayon 4 a pour équation réduite :

(x2)2+(y+3)2=16

Méthode 2

Si on connaît deux points diamétralement opposés du cercle

On peut déterminer une équation d'un cercle de diamètre [AB], si l'on connaît les coordonnées des deux points A et B.

Donner une équation du cercle de diamètre [AB] avec A(3;2) et B(1;4).

Etape 1

Mettre sous forme d'équation l'appartenance au cercle

On énonce qu'un point M(x;y) appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si AM.BM=0.

Un point M(x;y) appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si AM.BM=0.

Etape 2

Déterminer les coordonnées de AM et BM.

On détermine les coordonnées des vecteurs AM et BM.

On a A(xA;yA), B(xB;yB) et M(x;y).

Donc :

  • AMxxAyyA
  • BMxxByyB

On a A(3;2), B(1;4) et M(x;y).

Donc :

  • AMx3y+2
  • BMx+1y4
Etape 3

Calculer le produit scalaire

On exprime le produit scalaire AM.BM en fonction des coordonnées.

Ainsi :

AM.BM=(x3)(x+1)+(y+2)(y4)

Etape 4

Faire apparaître les identités remarquables

AM.BM=0

(xxA)(xxB)+(yyA)(yyB)=0

On développe l'équation. On obtient :

x2+ax+y2+by+c=0

On fait apparaître les identités remarquables. L'équation devient :

(x+a2)2(a2)2+(y+b2)2(b2)2+c=0

AM.BM=0

(x3)(x+1)+(y+2)(y4)=0

x2+x3x3+y24y+2y8=0

x22x+y22y11=0

On reconnaît que :

  • x22x=(x1)21
  • y22y=(y1)21

L'équation devient donc :

(x1)21+(y1)2111=0

Etape 5

Isoler les constantes

On isole finalement les constantes dans le membre de droite. On obtient l'équation du cercle :

(x+a2)2+(y+b2)2=(a2)2+(b2)2c

On isole les constantes et on obtient finalement l'équation du cercle :

(x1)2+(y1)2=13

Etape 6

Conclure sur le centre et le rayon

Comme on connaît l'équation réduite du cercle on peut déterminer son centre et son rayon.

On en déduit que le cercle a pour centre I(1;1) et pour rayon r=13.

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