Première S 2016-2017

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Déterminer une équation d'un cercle

Méthode 1

Si on connaît le centre et le rayon du cercle

On peut déterminer une équation d'un cercle dont on connaît le centre \(\displaystyle{O\left(x_O; y_O\right)}\) et le rayon R.

Donner une équation du cercle de centre \(\displaystyle{A\left(2;-3\right)}\) et de rayon 4.

Etape 1

Rappeler la formule de l'équation réduite d'un cercle

On rappelle que la formule de l'équation réduite d'un cercle de centre \(\displaystyle{A\left(x_A; y_A\right)}\) et de rayon r est :

\(\displaystyle{\left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2 = r^2}\)

La formule de l'équation réduite d'un cercle de centre \(\displaystyle{A\left(x_A; y_A\right)}\) et de rayon r est :

\(\displaystyle{\left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2 = r^2}\)

Etape 2

Rappeler le centre et le rayon du cercle

On rappelle les coordonnées du centre ainsi que le rayon du cercle.

Ici, le centre du cercle est le point \(\displaystyle{A\left(2;-3\right)}\) et son rayon est 4.

Etape 3

Appliquer la formule

On remplace la valeur de R et les coordonnées du centre dans l'équation réduite :

\(\displaystyle{\left(x-x_o\right)^2+\left(y-y_o\right)^2 = R^2}\)

On en déduit que le cercle de centre \(\displaystyle{A\left(2;-3\right)}\) et de rayon 4 a pour équation réduite :

\(\displaystyle{\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2 = 16}\)

Méthode 2

Si on connaît deux points diamétralement opposés du cercle

On peut déterminer une équation d'un cercle de diamètre \(\displaystyle{\left[ AB \right]}\), si l'on connaît les coordonnées des deux points A et B.

Donner une équation du cercle de diamètre \(\displaystyle{\left[ AB \right]}\) avec \(\displaystyle{A\left(3;-2\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(-1;4\right)}\).

Etape 1

Mettre sous forme d'équation l'appartenance au cercle

On énonce qu'un point \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) appartient au cercle de diamètre \(\displaystyle{\left[ AB\right]}\) si et seulement si \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}= 0}\).

Un point \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) appartient au cercle de diamètre \(\displaystyle{\left[ AB\right]}\) si et seulement si \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}= 0}\).

Etape 2

Déterminer les coordonnées de \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{BM}}\).

On détermine les coordonnées des vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{BM}}\).

On a \(\displaystyle{A\left(x_A;y_A\right) }\), \(\displaystyle{B\left(x_B; y_B\right)}\) et \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\).

Donc :

  • \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-x_A \cr\cr y-y_A \end{pmatrix}}\)
  • \(\displaystyle{\overrightarrow{BM}\begin{pmatrix} x-x_B \cr\cr y-y_B \end{pmatrix}}\)

On a \(\displaystyle{A\left(3;-2\right) }\), \(\displaystyle{B\left(-1; 4\right)}\) et \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\).

Donc :

  • \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-3 \cr\cr y+2\end{pmatrix}}\)
  • \(\displaystyle{\overrightarrow{BM}\begin{pmatrix} x+1 \cr\cr y-4 \end{pmatrix}}\)
Etape 3

Calculer le produit scalaire

On exprime le produit scalaire \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}}\) en fonction des coordonnées.

Ainsi :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=\left(x-3\right)\left(x+1\right) +\left(y+2\right)\left(y-4\right) }\)

Etape 4

Faire apparaître les identités remarquables

\(\displaystyle{\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \left(x-x_A\right)\left(x-x_B\right) +\left(y-y_A\right)\left(y-y_B\right) = 0}\)

On développe l'équation. On obtient :

\(\displaystyle{x^2+ax+y^2+by +c= 0}\)

On fait apparaître les identités remarquables. L'équation devient :

\(\displaystyle{\left(x+\dfrac{a}{2}\right)^2- \left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{b}{2}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2}\right)^2+c= 0}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0 }\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+1\right) +\left(y+2\right)\left(y-4\right)=0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x^2+x-3x-3+y^2-4y+2y-8=0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x^2-2x+y^2-2y-11=0}\)

On reconnaît que :

  • \(\displaystyle{x^2-2x= \left(x-1\right)^2-1}\)
  • \(\displaystyle{y^2-2y= \left(y-1\right)^2-1}\)

L'équation devient donc :

\(\displaystyle{\left(x-1\right)^2-1+\left(y-1\right)^2-1-11=0}\)

Etape 5

Isoler les constantes

On isole finalement les constantes dans le membre de droite. On obtient l'équation du cercle :

\(\displaystyle{\left(x+\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{b}{2}\right)^2= \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{b}{2}\right)^2 -c}\)

On isole les constantes et on obtient finalement l'équation du cercle :

\(\displaystyle{\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2 =13}\)

Etape 6

Conclure sur le centre et le rayon

Comme on connaît l'équation réduite du cercle on peut déterminer son centre et son rayon.

On en déduit que le cercle a pour centre \(\displaystyle{I\left(1;1\right)}\) et pour rayon \(\displaystyle{r = \sqrt{13}}\).

Chapitre 9 Le produit scalaire
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