Première S 2015-2016
Kartable
Première S 2015-2016

Reconnaître une équation de cercle

Une équation de cercle de centre O(xo;yo) et de rayon R est de la forme (xxo)2+(yyo)2=R2.

Lorsque l'on a une équation de la forme ax2+ay2+bx+cy+d=0, on se ramène à une équation de ce type pour déterminer s'il s'agit bien d'une équation de cercle.

Soit l'équation 2x28x+2y2+24y=48.

Déterminer si cette équation est celle d'un cercle. Si oui, déterminer le centre et le rayon de celui-ci.

Etape 1

Diviser les deux côtés de l'égalité par a

On a :

ax2+ay2+bx+cy+d=0

On divise les deux membres de l'égalité par a :

x2+y2+bax+cay+d=0

L'équation est :

2x28x+2y2+24y=48

On divise les deux membres de l'égalité par 2. On obtient :

x24x+y2+12y=24

Etape 2

Faire apparaître deux identités remarquables

On fait apparaître les deux identités remarquables :

  • Identité en x :

x2+bax=x2+2×b2a×x+b24a2b24a2=(x+b2a)2b24a2

  • Identité en y :

y2+cay=y2+2×c2a×y+c24a2c24a2=(y+c2a)2c24a2

On en déduit que l'équation devient :

(x+b2a)2b24a2+(x+c2a)2c24a2+d=0

On fait apparaître les deux identités remarquables :

x24x=x22×2×x+44=(x2)24

y2+12y=y2+2×6×y+3636=(y+6)236

On en déduit que l'équation devient :

(x2)24+(y+6)236=24

Etape 3

Isoler les constantes

On isole les constantes dans le membre de droite :

(x+b2a)2+(x+c2a)2=b24a2+c24a2d

On isole les constantes. L'équation devient :

(x2)2+(y+6)2=16

Etape 4

Conclure

Or on sait qu'un cercle admet une équation de la forme (xxo)2+(yyo)2=R2.

On en déduit que :

  • L'équation est celle d'un cercle si et seulement si le membre de droite est strictement positif (b24a2+c24a2d>0).
  • Si le membre de droite est nul, alors l'équation est réduite à un point.
  • Si le membre de droite est strictement négatif, l'ensemble des points de coordonnées (x;y) vérifiant cette équation est vide.

Si l'équation est celle d'un cercle, on détermine :

  • Son rayon R=b24a2+c24a2d
  • Son centre O(b2a;c2a)

On a 16>0, donc l'équation de l'énoncé est celle d'un cercle de rayon R=16=4 et de centre O(2;6).

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