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Reconnaître une équation de cercle

Une équation de cercle de centre \(\displaystyle{O\left(x_o;y_o\right)}\) et de rayon R est de la forme \(\displaystyle{\left(x-x_o\right)^2+\left(y-y_o\right)^2 =R^2}\).

Lorsque l'on a une équation de la forme \(\displaystyle{ax^2+ay^2+bx+cy+d = 0}\), on se ramène à une équation de ce type pour déterminer s'il s'agit bien d'une équation de cercle.

Soit l'équation \(\displaystyle{2x^2-8x+2y^2+24y = -48}\).

Déterminer si cette équation est celle d'un cercle. Si oui, déterminer le centre et le rayon de celui-ci.

Etape 1

Diviser les deux côtés de l'égalité par a

On a :

\(\displaystyle{ax^2+ay^2+bx+cy+d = 0}\)

On divise les deux membres de l'égalité par a :

\(\displaystyle{x^2+y^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}y+d = 0}\)

L'équation est :

\(\displaystyle{2x^2-8x+2y^2+24y = -48}\)

On divise les deux membres de l'égalité par 2. On obtient :

\(\displaystyle{x^2-4x+y^2+12y= -24}\)

Etape 2

Faire apparaître deux identités remarquables

On fait apparaître les deux identités remarquables :

  • Identité en x :

\(\displaystyle{x^2 +\dfrac{b}{a} x= x^2+ 2\times \dfrac{b}{2a} \times x +\dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{b^2}{4a^2} = \left(x+ \dfrac{b}{2a}\right)^2- \dfrac{b^2}{4a^2}}\)

  • Identité en y :

\(\displaystyle{y^2 +\dfrac{c}{a} y= y^2+ 2\times \dfrac{c}{2a} \times y +\dfrac{c^2}{4a^2} - \dfrac{c^2}{4a^2} = \left(y+ \dfrac{c}{2a}\right)^2- \dfrac{c^2}{4a^2}}\)

On en déduit que l'équation devient :

\(\displaystyle{\left(x+ \dfrac{b}{2a}\right)^2- \dfrac{b^2}{4a^2}+\left(x+ \dfrac{c}{2a}\right)^2- \dfrac{c^2}{4a^2}+d = 0}\)

On fait apparaître les deux identités remarquables :

\(\displaystyle{x^2 -4 x= x^2- 2\times 2\times x +4-4= \left(x-2\right)^2-4}\)

\(\displaystyle{y^2+12y= y^2 +2\times 6\times y +36-36=\left(y+6\right)^2-36}\)

On en déduit que l'équation devient :

\(\displaystyle{\left(x-2\right)^2-4+\left(y+6\right)^2-36 = -24}\)

Etape 3

Isoler les constantes

On isole les constantes dans le membre de droite :

\(\displaystyle{\left(x+ \dfrac{b}{2a}\right)^2+\left(x+ \dfrac{c}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c^2}{4a^2}-d}\)

On isole les constantes. L'équation devient :

\(\displaystyle{\left(x-2\right)^2+\left(y+6\right)^2=16}\)

Etape 4

Conclure

Or on sait qu'un cercle admet une équation de la forme \(\displaystyle{\left(x-x_o\right)^2+\left(y-y_o\right)^2 =R^2}\).

On en déduit que :

  • L'équation est celle d'un cercle si et seulement si le membre de droite est strictement positif (\(\displaystyle{\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c^2}{4a^2}-d \gt 0}\)).
  • Si le membre de droite est nul, alors l'équation est réduite à un point.
  • Si le membre de droite est strictement négatif, l'ensemble des points de coordonnées \(\displaystyle{\left(x;y\right)}\) vérifiant cette équation est vide.

Si l'équation est celle d'un cercle, on détermine :

  • Son rayon \(\displaystyle{R =\sqrt{\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c^2}{4a^2}-d }}\)
  • Son centre \(\displaystyle{O\left(-\dfrac{b}{2a} ; -\dfrac{c}{2a}\right)}\)

On a \(\displaystyle{16 \gt 0 }\), donc l'équation de l'énoncé est celle d'un cercle de rayon \(\displaystyle{R = \sqrt {16} = 4}\) et de centre \(\displaystyle{O\left(2;-6\right)}\).

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