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Donner un vecteur directeur d'une droite dont on connaît une équation cartésienne

Un vecteur directeur d'une droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) d'équation cartésienne \(\displaystyle{ax+by+c=0}\) est \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\left( -b; a \right)}\).

Soit la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) d'équation cartésienne \(\displaystyle{-3x+4y -2 = 0}\).

Déterminer un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

Etape 1

Rappeler l'équation cartésienne de la droite

On rappelle l'équation cartésienne de la droite.

\(\displaystyle{\left(d\right)}\) admet pour équation cartésienne : \(\displaystyle{-3x+4y -2 = 0}\).

Etape 2

Réciter le cours

D'après le cours, si une droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation \(\displaystyle{ax+by +c=0}\), a, b et c étant trois réels quelconques, alors le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\left( -b ; a \right)}\) est un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

Si une droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation \(\displaystyle{ax+by +c=0}\), a, b et c étant trois réels quelconques, alors le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\left( -b ; a \right)}\) est un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

Etape 3

Identifier a et b

On identifie les coefficients a et b.

Ici :

  • \(\displaystyle{a = -3}\)
  • \(\displaystyle{b = 4}\)
Etape 4

Conclure

On donne les coordonnées de \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\left( -b ; a \right)}\), vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

Tout vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) non nul colinéaire à \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) é est également un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

\(\displaystyle{\overrightarrow{u}\left( -4 ; -3 \right)}\) est donc un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

Toute droite admet une infinité de vecteurs directeurs.

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