Déterminer une limite d'une opération linéaire de fonctions à l'aide des limites de x ln(x) en 0 et de ln(x)/x en +infini Exercice

Par croissance comparée, nous savons que :

On a :
\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x - 1} = \frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} \times \frac{x}{x-1}

Par croissance comparée, on sait que :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0
et
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{x-1} = 1 

Ainsi :
\lim\limits_{x \to +\infty}  \frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x - 1} =2 \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln{\left(x \right)}}{x}\times  \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x}{x-1}
\lim\limits_{x \to +\infty}  \frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x - 1} = 2 \times 0 \times 1

On a :
- x + \ln(x+1) - 1 = (x+1) \times \left(-\dfrac{x}{x+1} + \dfrac{\ln(x+1)}{x+1} - \dfrac{1}{x+1} \right)

Par croissance comparée, on sait que :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} =0

Ainsi :
\lim\limits_{x \to 0} - x + \ln(x+1) - 1 = \lim\limits_{x \to +\infty}(x+1) \times \left(-\dfrac{x}{x+1} + \dfrac{\ln(x+1)}{x+1} - \dfrac{1}{x+1} \right)

Or :
\lim\limits_{x \to +\infty} -\dfrac{x}{x+1} = -1 
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x+1)}{x+1} = 0
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x+1} = 0

Donc :
\lim\limits_{x \to 0} - x + \ln(x+1) - 1 = \lim\limits_{x \to +\infty}(x+1) \times (-1)

On a :
 - 2 x + \ln{\left(x \right)} = -x \left( 2 - \dfrac{\ln(x)}{x} \right)

Par croissance comparée, on sait que \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} =0 .

Ainsi :
\lim\limits_{x \to +\infty} - 2 x + \ln{\left(x \right)} = \lim\limits_{x \to +\infty} -x \left( 2 - \dfrac{\ln(x)}{x} \right) 
\lim\limits_{x \to +\infty} - 2 x + \ln{\left(x \right)} = \lim\limits_{x \to +\infty} -2x 

On a :
x \ln{\left(x + 1 \right)} + \frac{1}{x} = (x+1) \ln(x+1) \times \dfrac{x}{x+1} + \frac{1}{x}

Ainsi :
\lim\limits_{x \to 0^+} x \ln{\left(x + 1 \right)} + \frac{1}{x} = \lim\limits_{x \to 0^+} (x+1) \ln(x+1) \times \dfrac{x}{x+1} + \frac{1}{x}

Or :
  \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{x}{x+1} = 0 
et
\lim\limits_{x \to 0^{+}}(x+1)\ln\left(x+1\right)=1\times\ln\left(1\right)=0

Donc :
\lim\limits_{x \to 0^+} x \ln{\left(x + 1 \right)} + \frac{1}{x} = 0 \times 0 + \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1}{x}