Déterminer une limite d'une opération linéaire de fonctions à l'aide des limites de x^n ln(x) en 0 et de ln(x)/x^n en +infini Exercice

Par croissance comparée, nous savons que :
\lim\limits_{x \to 0^+} x^2 \ln(x) = 0

Donc :
\lim\limits_{x \to 0^+} x^2 \ln{\left(x \right)} + \dfrac{1}{x} = \lim\limits_{x \to 0^+} \left( x^2 \ln{\left(x \right)} \right) + \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}  
\lim\limits_{x \to 0^+} x^2 \ln{\left(x \right)} + \dfrac{1}{x} = 0 + \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}  

On a :
 \frac{2 \ln{\left(x \right)}}{(x - 1)^3} - x = \frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x^3} \times \frac{x^3}{(x-1)^3} - x= \frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x^3} \times \left( \frac{x}{x-1} \right)^3 -x

Par croissance comparée, nous savons que :
  \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln{\left(x \right)}}{x^3} = 0
et
\lim\limits_{x \to +\infty} \left( \dfrac{x}{x-1} \right)^3 = \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{x}} \right)^3 =1

Ainsi :
\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{2 \ln{\left(x \right)}}{(x - 1)^3} - x =2 \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln{\left(x \right)}}{x^3} \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \frac{x}{x-1} \right)^3 - \lim\limits_{x \to +\infty} x
\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{2 \ln{\left(x \right)}}{(x - 1)^3} - x = 2 \times 0 \times 1 - \lim\limits_{x \to +\infty} x

On a :
 \dfrac{1}{x^3} + \ln{\left(x \right)} - x \cos(x) = \dfrac{1}{x^3} \left(1  +x^3 \ln{\left(x \right)} \right) - x \cos(x)

Par croissance comparée, on sait que :
\lim\limits_{x \to 0^+} x^3 \ln(x) = 0

Donc :
\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^3} + \ln{\left(x \right)} - x \cos(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^3} \left(1  +x^3 \ln{\left(x \right)} \right) - \lim\limits_{x \to 0^+} x \cos(x)

Or :
\lim\limits_{x \to 0^+} x \cos(x) = 0 puisque \lim\limits_{x \to 0^+}\cos\left(x\right)=1.

Donc :
\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^3} + \ln{\left(x \right)} - x \cos(x) = \lim\limits_{x \to 0+} \dfrac{1}{x^3}

On a :
x^2 + \ln(x+1) - 1 = (x+1)^3 \times \left( \left( \dfrac{x}{x+1} \right)^3 + \dfrac{\ln(x+1)}{(x+1)^3} - \dfrac{1}{(x+1)^3} \right)

Par croissance comparée, nous savons que :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^3} = 0

Ainsi :
\lim\limits_{x \to +\infty} x^3 + \ln(x+1) - 1 = \lim\limits_{x \to +\infty}(x+1)^3 \times \left( \left( \dfrac{x}{x+1} \right)^3 + \dfrac{\ln(x+1)}{(x+1)^3} - \dfrac{1}{(x+1)^3} \right)

Or :
\lim\limits_{x \to +\infty} \left( \dfrac{x}{x+1} \right)^3 = \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}} \right)^3 =1
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x+1)}{(x+1)^3} = 0
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{(x+1)^3} = 0

Donc :
\lim\limits_{x \to +\infty} x^3 + \ln(x+1) - 1 = \lim\limits_{x \to +\infty}(x+1)^3 \times 1 

Par croissance comparée, nous savons que pour tout n > 0  :
\lim\limits_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0

Or :
- \dfrac{1}{x^3} + x^2 \ln{\left(x \right)} = -\dfrac{1}{x^3} \left(1  - x^5 \ln{\left(x \right)} \right)

Donc :
\lim\limits_{x \to 0^+} -\dfrac{1}{x^3} + x^2 \ln{\left(x \right)} = \lim\limits_{x \to 0^+} -\dfrac{1}{x^3} \left(1  -x^5 \ln{\left(x \right)} \right)
\lim\limits_{x \to 0^+} - \dfrac{1}{x^3} +x^{2} \ln{\left(x \right)} = \lim\limits_{x \to 0^+} -\dfrac{1}{x^3}