La fonction logarithmeCours

I

Les définitions et les premières propriétés

Le fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle possède des propriétés algébriques très utiles notamment lors de la résolution d'équations ou d'inéquations comportant des puissances.

Fonction logarithme népérien

Pour tout réel x>0, on appelle logarithme népérien de x l'antécédent de x par la fonction exponentielle.

La fonction ainsi définie est la réciproque de la fonction exponentielle.

Soit un réel x>0.

On note \ln(x) le logarithme népérien de x.

Soit un réel x>0.

Alors \text{e}^{\ln(x)}=x.

\text{e}^{\ln(2)}=2

Soit un réel x.

On a :
\ln\left(\text{e}^x\right)=x

\ln\left(\text{e}^{10}\right)=10

Soient a et b deux réels strictement positifs. On a :

\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)

Soit un réel x>0.

Alors \ln\left(x\right)+\ln\left(x-1\right)=\ln\left(x(x-1)\right).

\ln\left(x\right)+\ln\left(x-1\right)=\ln\left(x^2-x\right)

Soit un réel b>0.

Alors \ln\left(\frac{1}{b}\right)=-\ln\left(b\right).

Soit un réel x.

Alors \ln\left(\frac{1}{x^2+1}\right)=-\ln\left(x^2+1\right).

Soient a et b deux réels strictement positifs.

Alors \ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln\left(a\right)-\ln\left(b\right).

Soit un réel x>0.

Alors \ln\left(\frac{x}{x^2+1}\right)=\ln\left(x\right)-\ln\left(x^2+1\right).

Soit un réel a>0 et un entier relatif n.

Alors \ln\left(a^n\right)=n\ln\left(a\right).

\ln\left(1\,000\,000\right)=\ln\left(10^6\right)=6\ln\left(10\right)

Soit un réel a>0.

\ln\left(\sqrt{a}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(a\right)

\ln\left(\sqrt{2}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(2\right)

Soit un réel a>0.

Si l'on utilise le fait que \sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}, la formule précédente peut encore s'écrire :
\ln\left(a^n\right)=n\ln\left(a\right) avec n=\frac{1}{2}

II

La représentation graphique de la fonction ln

La fonction logarithme népérien possède des variations et une courbe liées à celles de sa réciproque, la fonction exponentielle. 

A

La dérivée et les variations

Le sens de variation de la fonction logarithme népérien est suffisamment simple pour être très utile lors de la résolution d'équations ou d'inéquations utilisant ln.

La fonction ln est dérivable sur ]0;+\infty[ et, pour tout réel x, on a :

\ln'(x)=\frac{1}{x}

On admet la dérivabilité de la fonction ln sur ]0;+\infty[.

On va démontrer que pour tout réel x>0, on a :
\ln'(x)=\frac{1}{x}

On sait que pour tout réel x>0 :
\text{e}^{\ln(x)}=x

On note f(x)=\text{e}^{\ln(x)}.

  • La fonction ln est dérivable sur ]0;+\infty[ (admis) et à valeurs dans \mathbb{R}.
  • La fonction exponentielle est dérivable sur \mathbb{R}.

 

Par composition, la fonction f est dérivable sur ]0;+\infty[.

De plus pour tout réel x>0, on a :
f'(x)=\ln'(x)\times \exp'(\ln(x))
f'(x)=\ln'(x)\times \text{e}^{\ln(x)}
f'(x)=\ln'(x)\times x

Or pour tout réel x>0, f(x)=x.

Donc f'(x)=1.

Ainsi on en déduit, pour tout réel x>0 :
\ln'(x)\times x=1

Soit :
\ln'(x)=\dfrac{1}{x}

La fonction ln est strictement croissante sur ]0;+\infty[.

-

La fonction ln possède les limites suivantes aux bornes de son ensemble de définition :

  • \lim\limits_{x\to 0\\x>0}\ln(x)=-\infty
  • \lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty
-

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.

Alors la fonction f=\ln\circ\, u, notée également f=\ln(u), est dérivable sur I et, pour tout réel x de I, on a :

f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}

Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f(x)=\ln\left(x^2+1\right)

f=\ln\circ\, u avec u(x)=x^2+1 pour tout réel x.

  • Comme fonction polynôme, u est dérivable sur \mathbb{R} de dérivée la fonction u' définie sur \mathbb{R} par u'(x)=2x.
  • De plus u est strictement positive sur \mathbb{R}.

 

Par conséquent, f est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x :
f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}

B

La courbe représentative

Étant la réciproque de la fonction exponentielle, la fonction ln admet une courbe qui lui est symétrique par rapport à la droite d'équation y=x (parfois appelée la première bissectrice).

Les courbes des fonction ln et exp sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.

-
III

Les limites et croissances comparées

Les limites aux bornes de l'ensemble de définition de la fonction ln ainsi que les croissances comparées avec les fonctions puissances se déduisent de celles de la fonction exponentielle. 

Soit n\in\mathbb{N}^{\star}.

Alors :

\lim\limits_{x\to 0\\x>0}x^n\ln(x)=0

Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=x^2\ln(x).

On a :
f(x)=x^n\ln(x) avec n=2

Donc \lim\limits_{x\to 0\\x>0}f(x)=0.

Soit n\in\mathbb{N}^*.

Alors :

\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n}=0

Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^2}.

On a :
f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^n} avec n=2

Donc \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0.

Dans le cas où n=1, on obtient :

  • \lim\limits_{x\to 0\\x>0}x\ln(x)=0
  • \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0

On démontre \lim\limits_{x\to 0\\x>0}x\ln(x)=0.

En posant X=\ln(x), on a :
x=\text{e}^X et \lim\limits_{x\to 0\\x>0}x=\lim\limits_{x\to -\infty}X.

On en déduit :
\lim\limits_{x\to 0\\x>0}x\ln(x)=\lim\limits_{X\to -\infty}\left(\text{e}^X\times X\right)

Or, on sait que :
\lim\limits_{X\to -\infty}X\text{e}^X=0

Ainsi, on obtient :
\lim\limits_{x\to 0\\x>0}x\ln(x)=0