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Dernière modification : 02/11/2026 - Conforme au programme 2026-2027
Fonction logarithme népérien
Pour tout réel x>0, on appelle logarithme népérien de x l'antécédent de x par la fonction exponentielle. La fonction ainsi définie est la réciproque de la fonction exponentielle.
L'image de 1 par la fonction logarithme népérien est 0.
Qu'est-ce que la fonction logarithme népérien ?
Soit un réel x>0.
On note \ln(x) le logarithme népérien de x.
Soit un réel x>0.
Alors \text{e}^{\ln(x)}=x.
\text{e}^{\ln(2)}=2
Soit un réel x.
On a :
\ln\left(\text{e}^x\right)=x
\ln\left(\text{e}^{10}\right)=10
Soient a et b deux réels strictement positifs. On a :
\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)
Soit un réel x>0.
Alors \ln\left(x\right)+\ln\left(x-1\right)=\ln\left(x(x-1)\right).
\ln\left(x\right)+\ln\left(x-1\right)=\ln\left(x^2-x\right)
Soit un réel b>0.
Alors \ln\left(\frac{1}{b}\right)=-\ln\left(b\right).
Soit un réel x.
Alors \ln\left(\frac{1}{x^2+1}\right)=-\ln\left(x^2+1\right).
Soient a et b deux réels strictement positifs.
Alors \ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln\left(a\right)-\ln\left(b\right).
Soit un réel x>0.
Alors \ln\left(\frac{x}{x^2+1}\right)=\ln\left(x\right)-\ln\left(x^2+1\right).
Soit un réel a>0 et un entier relatif n.
Alors \ln\left(a^n\right)=n\ln\left(a\right).
\ln\left(1\,000\,000\right)=\ln\left(10^6\right)=6\ln\left(10\right)
Soit un réel a>0.
\ln\left(\sqrt{a}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(a\right)
\ln\left(\sqrt{2}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(2\right)
Soit un réel a>0.
Si l'on utilise le fait que \sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}, la formule précédente peut encore s'écrire :
\ln\left(a^n\right)=n\ln\left(a\right) avec n=\frac{1}{2}
Quelle est la représentation graphique de la fonction ln ?
La dérivée et les variations
La fonction ln est dérivable sur ]0;+\infty[ et, pour tout réel x, on a :
\ln'(x)=\frac{1}{x}
On admet la dérivabilité de la fonction ln sur ]0;+\infty[.
On va démontrer que pour tout réel x>0, on a :
\ln'(x)=\frac{1}{x}
On sait que pour tout réel x>0 :
\text{e}^{\ln(x)}=x
On note f(x)=\text{e}^{\ln(x)}.
- La fonction ln est dérivable sur ]0;+\infty[ (admis) et à valeurs dans \mathbb{R}.
- La fonction exponentielle est dérivable sur \mathbb{R}.
Par composition, la fonction f est dérivable sur ]0;+\infty[.
De plus pour tout réel x>0, on a :
f'(x)=\ln'(x)\times \exp'(\ln(x))
f'(x)=\ln'(x)\times \text{e}^{\ln(x)}
f'(x)=\ln'(x)\times x
Or pour tout réel x>0, f(x)=x.
Donc f'(x)=1.
Ainsi on en déduit, pour tout réel x>0 :
\ln'(x)\times x=1
Soit :
\ln'(x)=\dfrac{1}{x}
La fonction ln est strictement croissante sur ]0;+\infty[.
La fonction ln possède les limites suivantes aux bornes de son ensemble de définition :
- \lim\limits_{x\to 0\\x>0}\ln(x)=-\infty
- \lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
Alors la fonction f=\ln\circ\, u, notée également f=\ln(u), est dérivable sur I et, pour tout réel x de I, on a :
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f(x)=\ln\left(x^2+1\right)
f=\ln\circ\, u avec u(x)=x^2+1 pour tout réel x.
- Comme fonction polynôme, u est dérivable sur \mathbb{R} de dérivée la fonction u' définie sur \mathbb{R} par u'(x)=2x.
- De plus u est strictement positive sur \mathbb{R}.
Par conséquent, f est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x :
f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}
La courbe représentative
Les courbes des fonctions ln et exp sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.
Quelles sont les limites et croissances comparées liées à la fonction ln ?
Soit n\in\mathbb{N}^{\star}.
Alors :
\lim\limits_{x\to 0\\x>0}x^n\ln(x)=0
Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=x^2\ln(x).
On a :
f(x)=x^n\ln(x) avec n=2
Donc \lim\limits_{x\to 0\\x>0}f(x)=0.
Soit n\in\mathbb{N}^*.
Alors :
\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n}=0
Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^2}.
On a :
f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^n} avec n=2
Donc \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0.
Dans le cas où n=1, on obtient :
- \lim\limits_{x\to 0\\x>0}x\ln(x)=0
- \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0
On démontre \lim\limits_{x\to 0\\x>0}x\ln(x)=0.
En posant X=\ln(x), on a :
x=\text{e}^X et \lim\limits_{x\to 0\\x>0}x=\lim\limits_{x\to -\infty}X.
On en déduit :
\lim\limits_{x\to 0\\x>0}x\ln(x)=\lim\limits_{X\to -\infty}\left(\text{e}^X\times X\right)
Or, on sait que :
\lim\limits_{X\to -\infty}X\text{e}^X=0
Ainsi, on obtient :
\lim\limits_{x\to 0\\x>0}x\ln(x)=0