Soit f la fonction logarithme népérien.
Quelle équation est une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1 ?
D'après le cours, une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1 est :
y=f'(1)(x-1)+f(1)
Or, la fonction f est dérivable sur ]0;+\infty[ et pour tout réel x>0, on a :
f'(x)=\dfrac{1}{x}
On en déduit donc :
f'(1)=\dfrac{1}{1}
De plus f(1)=\ln(1)=0.
Une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1 est donc :
y=1\times (x-1)+0
Donc y= x-1.
Soit f la fonction logarithme népérien et y = x-1 l'équation réduite de la tangente à la courbe de f en 1.
Soit X un réel tel que \left| X-1 \right| \leq 10^{-2}.
Est-il vrai ou faux que \ln(X) \approx X-1 ?
On nous dit que \left| X-1 \right| \leq 10^{-2}, cela revient à dire que X est très proche de 1.
Donc pour estimer \ln(X), on peut calculer l'ordonnée du point d'abscisse X de la tangente à la courbe de f en 1.
Cela revient à dire que \ln(X) \approx X-1.
Par exemple, pour 1,009 :
À la calculatrice, on trouve :
\ln(1{,}009) \approx 0{,}0089
Or, 1{,}009 - 1 = 0{,}009.
On a bien \ln(1{,}009) \approx 1{,}009 -1.
L'affirmation est donc vraie.
Soit f la fonction logarithme népérien et y = x-1 l'équation réduite de la tangente à la courbe de f en 1.
Soit X un réel tel que \left| X-1 \right| \leq 10^{-2}. On a \ln(X) \approx X-1.
On définit la suite (u_n) par :
\begin{cases}u_0=10\\u_{n+1}=\sqrt{u_n}\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
Est-il vrai ou faux que \left|u_8 -1 \right| \leq 10^-2 ?
Avec la calculatrice, on trouve que u_8=\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{10}}}}}}}} \approx 1{,}009.
On a donc bien \left|u_8 -1 \right| \leq 10^{-2}.
L'affirmation est donc vraie.
Soit f la fonction logarithme népérien et y = x-1 l'équation réduite de la tangente à la courbe de f en 1.
Soit X un réel tel que \left| X-1 \right| \leq 10^{-2}. On a \ln(X) \approx X-1.
On définit la suite (u_n) par :
\begin{cases}u_0=10\\u_{n+1}=\sqrt{u_n}\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
Comment peut-on écrire \ln(u_8) ?
D'après le cours, on a :
\ln\left(\sqrt{x}\right)=\dfrac{1}{2}\ln(x) pour tout réel x>0.
On en déduit :
\ln\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{10}}}}}}}}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{10}}}}}}}\right)
\ln\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{10}}}}}}}}\right)=\dfrac{1}{2^2}\ln\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{10}}}}}}\right)
...
\ln\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{10}}}}}}}}\right)=\dfrac{1}{2^8}\ln(10)
Donc \ln(u_8) =\dfrac{1}{2^8} \ln(10).
Soit f la fonction logarithme népérien et y = x-1 l'équation de la tangente à la courbe de f en 1.
Soit X un réel tel que \left| X-1 \right| \leq 10^{-2}. On a \ln(X) \approx X-1.
On définit la suite (u_n) par :
\begin{cases}u_0=10\\u_{n+1}=\sqrt{u_n}\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
De plus, u_8 \approx 1{,}009 et \ln(u_8) =\dfrac{1}{2^8} \ln(10).
Quelle est une valeur approchée de \ln(10) ?
On a bien \left|u_8- 1 \right| \leq 10^{-2}.
Donc :
\ln(u_8) \approx \sqrt[8]{10} - 1\\\Leftrightarrow \ln(u_8) \approx 0{,}009\\\Leftrightarrow \dfrac{1}{2^8}\ln(10) \approx 0{,}009\\\Leftrightarrow \ln(10) \approx 0{,}009 \times 2^8
Donc \ln(10) \approx 0{,}009 \times 2^8.
Soit f la fonction logarithme népérien et y = x-1 l'équation de la tangente à la courbe de f en 1.
Soit X un réel tel que \left| X-1 \right| \leq 10^{-2}. On a \ln(X) \approx X-1.
On définit la suite (u_n) par :
\begin{cases}u_0=10\\u_{n+1}=\sqrt{u_n}\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}
De plus, u_8 \approx 1{,}009 et \ln(10) \approx 0{,}009 \times 2^8.
Quel algorithme permet d'estimer la valeur de \ln(10) avec la méthode vue dans cet exercice ?
On initialise le programme en rentrant la valeur de x, x = 10.
On initialise un compteur n à 0 : n=0.
Puis il faut réaliser la boucle suivante :
TANT QUE \left| x-1 \right| \gt 10^{-2},
n devient n+1 et
x devient \sqrt{x}.
Il s'agit ici d'une boucle WHILE.
Une fois la boucle terminée et la première valeur de n pour laquelle \left| x-1 \right| \leq 10^{-2} trouvée, le programme doit calculer (x-1) \times 2^n qui est une approximation de \ln(10).
L'algorithme qui permet d'estimer la valeur de \ln(10) avec la méthode vue dans cet exercice est donc le suivant :
