Soit f, la fonction définie sur \mathbb{R}_+^\star par f(x) = x \ln(x) .
Démontrer la limite de f en 0.
Que vaut \lim\limits_{x \to -\infty} x e^x ?
On connaît les croissances comparées de la fonction exponentielle.
Ainsi, \lim\limits_{x \to -\infty} x e^x = 0 .
On pose X = \ln(x) .
Que devient \lim\limits_{x \to 0⁺} x ?
On a X = \ln(x) .
Ainsi :
\lim\limits_{x \to 0^+} x = \lim\limits_{X \to - \infty} X
En effet :
\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty
Donc \lim\limits_{x \to 0^+} x = \lim\limits_{X \to - \infty} X .
On pose X = \ln(x) .
Que devient \lim\limits_{x \to 0⁺} x\ln(x) ?
On a X = \ln(x) .
Donc :
x = e^X et \ln(x) = X
Ainsi :
\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln(x) = \lim\limits_{X \to - \infty} X e^X
Ainsi, \lim\limits_{x \to 0^+} x\ln(x) = \lim\limits_{X \to - \infty} X e^X.
Quelle est la limite de \lim\limits_{x \to 0⁺} f(x) ?
On a montré que :
\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln(x) = \lim\limits_{X \to - \infty} X e^X
Or, dans la première question, on a rappelé que :
\lim\limits_{X \to - \infty} X e^X = 0
Ainsi, \lim\limits_{x \to 0⁺} f(x) = 0.