Simplifier une expression du logarithme d'un quotient Exercice

Pour tout x, y > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( \dfrac{x}{y} \right) =  \ln \left( x\right) - \ln \left( y\right)

Pour tout x, y > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( \dfrac{x}{y} \right) =  \ln \left( x\right) - \ln \left( y\right)

On aura donc pour x\gt0 et y\gt0 :
\ln{\left(\frac{2 x}{y + 3} \right)} = \ln{\left(2x \right)} - \ln{\left(y + 3 \right)} 

Or, pour x,y > 0 , on a :
\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)

Pour tout x, y > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( \dfrac{x}{y} \right) =  \ln \left( x\right) - \ln \left( y\right)

On aura donc (en supposant que x,y\gt0) :
\ln{\left(\frac{x y}{x + y} \right)} = \ln{\left(x y\right)} - \ln{\left(x + y \right)}

Or, pour x,y > 0 , on a :
\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)

Pour tout x, y > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( \dfrac{x}{y} \right) =  \ln \left( x\right) - \ln \left( y\right)

\ln(x+1) et \ln(x-1) sont définis pour x+1\gt0 et x-1\gt0 c'est-à-dire pour x\gt1.

Pour tout x, y > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( \dfrac{x}{y} \right) =  \ln \left( x\right) - \ln \left( y\right)

On aura donc pour x et y strictement positifs :
\ln{\left(\frac{x}{2 y} \right)} = \ln{\left(x \right)} - \ln{\left(2y \right)} 

Or, pour tout x,y > 0 , on a :
\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)