Que vaut \lim\limits_{x \to 0^+} x^2 \ln{\left(x \right)} + 2 ?
Par croissance comparée, on sait que pour tout réel n > 0 :
\lim\limits_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0
Donc :
\lim\limits_{x \to 0^+} x^2 \ln(x) = 0
Et :
\lim\limits_{x \to 0^+} x^2 \ln{\left(x \right)} + 2 = \lim\limits_{x \to 0^+} \left( x^2 \ln{\left(x \right)} \right) + 2
\lim\limits_{x \to 0^+} x^2 \ln{\left(x \right)} + 2 = 0 + 2
Donc \lim\limits_{x \to 0^+} x^2 \ln{\left(x \right)} + 2 = 2.
Que vaut \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^3} + \ln{\left(x \right)} ?
Par croissance comparée, on sait que pour tout réel n > 0 :
\lim\limits_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0
Or :
\dfrac{1}{x^3} + \ln{\left(x \right)} = \dfrac{1}{x^3} \left(1 +x^3 \ln{\left(x \right)} \right)
Donc :
\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^3} + \ln{\left(x \right)} = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^3} \left(1 +x^3 \ln{\left(x \right)} \right)
\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^3} + \ln{\left(x \right)} = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^3}
Ainsi, \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^3} + \ln{\left(x \right)} = +\infty .
Que vaut \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^4} + x^2 \ln{\left(x \right)} ?
Par croissance comparée, nous savons que pour tout réel n > 0 :
\lim\limits_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0
Or :
\dfrac{1}{x^4} + x^2 \ln{\left(x \right)} = \dfrac{1}{x^4} \left(1 +x^6 \ln{\left(x \right)} \right)
Donc :
\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^4} + x^2 \ln{\left(x \right)} = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^4} \left(1 +x^6 \ln{\left(x \right)} \right)
\lim\limits_{x \to 0^{+}}\left( 1+x^{6}\ln(x) \right)=1
\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^4} + x^{2}\ln{\left(x \right)} = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^4}
Ainsi, \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^4} + x^2 \ln{\left(x \right)} = +\infty .
Que vaut \lim\limits_{x \to 0^+} -x^3 \ln{\left(x \right)} + x ?
Par croissance comparée, nous savons que pour tout réel n > 0 :
\lim\limits_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0
Donc :
\lim\limits_{x \to 0^+} -x^3 \ln{\left(x \right)} + x = \lim\limits_{x \to 0^+} \left( -x^3 \ln{\left(x \right)} \right) + \lim\limits_{x \to 0^+} x
\lim\limits_{x \to 0^+} -x^3 \ln{\left(x \right)} + x = 0 + 0
Ainsi, \lim\limits_{x \to 0^+} -x^3 \ln{\left(x \right)} + x = 0 .
Que vaut \lim\limits_{x \to 0^+} \sqrt{x} \ln{\left(x \right)} + 1 ?
Par croissance comparée, nous savons que pour tout réel n > 0 :
\lim\limits_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0
Or :
\sqrt{x} \ln(x) = x^{\dfrac{1}{2}} \ln(x)
Donc :
\lim\limits_{x \to 0^+} \sqrt{x} \ln{\left(x \right)} + 1 = \lim\limits_{x \to 0^+} x^{\dfrac{1}{2}} \ln(x) + 1
\lim\limits_{x \to 0^+} \sqrt{x} \ln{\left(x \right)} + 1 =0 + 1
Ainsi, \lim\limits_{x \to 0^+} \sqrt{x} \ln{\left(x \right)} + 1 = 1 .