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Suites et conjectures à l'aide d'un algorithme Exercice type bac

Difficulté
>20 MIN
3 / 3

Soit \(\left(v_n\right)\) la suite définie par :

\[v_1 = \ln (2) \quad \text{et, pour tout entier naturel }\: n \:\text{non nul},\: v_{n+1} = \ln \left(2 − \text{e}^{- v_n}\right).\]

On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel \(n\) non nul.

On définit ensuite la suite \(\left(S_n\right)\) pour tout entier naturel \(n\) non nul par :

\[S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n v_k = v_1 + v_2 + \cdots + v_n.\]

Le but de cet exercice est de déterminer la limite de \(\left(S_n\right)\).

1

Recopier et compléter l'algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de \(S_n\) pour une valeur de \(n\) choisie par l'utilisateur :

-
2

À l'aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de \(S_n\).

Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous :

-

En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite \(\left(S_n\right)\).

Partie I

Étude d'une suite auxiliaire

3

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on définit la suite \(\left(u_n\right)\) par \(u_n = \text{e}^{v_n}\).

Vérifier que \(u_1 = 2\) et que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(u_{n+1} = 2 − \dfrac{1}{u_n}\).

4

Calculer \(u_2,\: u_3\) et \(u_4\). Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.

5

Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(u_n = \dfrac{n+1}{n}\).

Partie II

Étude de \((S_n)\)

6

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, exprimer \(v_n\) en fonction de \(u_n\), puis \(v_n\) en fonction de \(n\).

7

Vérifier que \(S_3 = \ln (4)\).

8

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, exprimer \(S_n\) en fonction de \(n\). En déduire la limite de la suite \(\left(S_n\right)\).

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