Suites et conjectures à l'aide d'un algorithmeExercice type bac

Polynésie, 2012, exercice 3

On considère l'algorithme suivant :

Les variables sont le réel U et les entiers naturels k et N.

-

Quel est l'affichage en sortie lorsque N=3 ?

On considère la suite \left(u_n\right) définie par u_0=0 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}= 3u_n − 2n + 3.

Quelles sont les valeurs de u_1 et u_2 ?

On admet que, pour tout entier naturel n, u_n\geqslant n.

Quelle est alors la limite de la suite \left(u_n\right) ?

Quel est le sens de variation de la suite (u_n) ?

Soit la suite \left(v_n\right) définie, pour tout entier naturel n, par v_n = u_n − n +1.

Quelle est la nature de la suite (v_n) ?

On admet que, pour tout entier naturel n, u_n = 3^n + n −1.

Soit p un entier naturel non nul.

Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier n_0 tel que, pour tout n\geqslant n_0, u_n\geqslant 10^p ?

On s'intéresse maintenant au plus petit entier n_0.

On admet que n_0\leqslant 3p.

Quel est cet entier n_0 pour la valeur p = 3 ?

On pourra s'aider de la calculatrice.

Quel est l'algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier n_0 tel que, pour tout n\geqslant n_0, on ait u_n\geqslant 10^p ?

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