Suites et conjectures à l'aide d'un algorithmeExercice type bac

Polynésie, 2014

On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par :

u_{0} = 0\quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n, u_{n+1} = u_{n} + 2n +2.

Quelles sont les valeurs de u_{1} et u_{2} ?

On considère les deux algorithmes suivants :

-

De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie la valeur de u_{n}, la valeur de l'entier naturel n étant entrée par l'utilisateur ?

À l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où n figure en abscisse et u_{n} en ordonnée.

-

Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite \left(u_{n}\right) ?

La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels a, b et c tels que, pour tout entier naturel n,\: u_{n} = an^2 + bn + c.

Dans le cadre de cette conjecture, quelles sont les valeurs de a, b et c ?

On définit, pour tout entier naturel n, la suite \left(v_{n}\right) par : v_{n} = u_{n+1} − u_{n}.

a

Quelle expression de v_{n} en fonction de l'entier naturel n peut-on donner ?

b

Quelle est la nature de la suite (v_n) ?

c

On définit, pour tout entier naturel \(n,\: S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} v_{k} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n.

On admet que, pour tout entier naturel n,\: S_{n} = (n + 1)(n + 2), et que S_{n} = u_{n+1} − u_{0}.

Quelle expression de u_{n} en fonction de n peut-on en déduire ?

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