Le but de cet exercice est de déterminer la limite suivante :
\lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)
Où f est la fonction définie pour tout x de \mathbb{R^*} par :
f\left(x\right) = \dfrac{\cos\left(x\right)-1}{x}
Pour tout réel x non nul, quelle est l'expression de f\left(x\right) sous la forme du taux d'accroissement d'une fonction g entre un réel a et x ?
Soit x un réel non nul.
Comme \cos\left(0\right)=1, on a :
f\left(x\right)=\dfrac{\cos\left(x\right)-\cos\left(0\right)}{x-0}
En notant g la fonction cos et en posant a=0 :
f\left(x\right)=\dfrac{g\left(x\right)-g\left(a\right)}{x-a}
f\left(x\right) est donc le taux d'accroissement de la fonction g entre a et x.
Pour tout réel x non nul, f\left(x\right) peut s'écrire sous la forme du taux d'accroissement de la fonction \cos entre 0 et x.
Quelle valeur de la limite suivante peut-on en déduire ?
\lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)
La fonction \cos est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x :
\left(\cos\right)^{'}\left(x\right)=-\sin\left(x\right)
Donc, la fonction \cos est dérivable en 0 et :
\left(\cos\right)^{'}\left(0\right)=-\sin\left(0\right)=0
Le taux d'accroissement de la fonction \cos entre 0 et x tend donc vers 0 quand x tend vers 0, soit :
\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\cos\left(x\right)-\cos\left(0\right)}{x-0}=0
D'après le résultat de la question précédente, on peut conclure :
\lim\limits_{x \to 0}f\left(x\right)=0