Le but de cet exercice est de déterminer la limite suivante :
\lim\limits_{x \to 2}f\left(x\right)
Où f est la fonction définie pour tout réel x différent de 2 par :
f\left(x\right) = \dfrac{e^x-e^2}{x-2}
Pour tout réel x différent de 2, quelle expression de f\left(x\right) sous la forme du taux d'accroissement d'une fonction g entre un réel a et x ?
Soit x un réel différent de 2.
Comme exp\left(2\right)=e^2, on a :
f\left(x\right)=\dfrac{exp\left(x\right)-exp\left(2\right)}{x-2}
En notant g la fonction exp et en posant a=2 :
f\left(x\right)=\dfrac{g\left(x\right)-g\left(a\right)}{x-a}
f\left(x\right) est donc le taux d'accroissement de la fonction g entre a et x.
Pour tout réel x différent de 2, f\left(x\right) peut s'écrire sous la forme du taux d'accroissement de la fonction exp entre 2 et x.
Quelle valeur de la limite suivante peut-on en déduire ?
\lim\limits_{x \to 2}f\left(x\right)
La fonction \exp est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x :
\left(\exp\right)^{'}\left(x\right)=\exp\left(x\right)=e^x
Donc, la fonction \exp est dérivable en 2 et :
\left(\exp\right)^{'}\left(2\right)=\exp\left(2\right)=e^2
Le taux d'accroissement de la fonction exp entre 2 et x tend donc vers e^2 quand x tend vers 2, soit :
\lim\limits_{x \to 2}\dfrac{\exp\left(x\right)-\exp\left(2\right)}{x-2}=e^2
D'après le résultat de la question précédente, on peut conclure :
\lim\limits_{x \to 2}f\left(x\right)=e^2