Le but de cet exercice est de déterminer la limite suivante :
\lim\limits_{x \to 1}f\left(x\right)
Où f est la fonction définie pour tout réel x différent de 1 par :
f\left(x\right) = \dfrac{e^x-e}{x-1}
Pour tout réel x différent de 1, quelle est l'expression de f\left(x\right) sous la forme du taux d'accroissement d'une fonction g entre un réel a et x ?
Soit x un réel différent de 1.
Comme exp\left(1\right)=e, on a :
f\left(x\right)=\dfrac{exp\left(x\right)-exp\left(1\right)}{x-1}
En notant g la fonction exp et en posant a=1 :
f\left(x\right)=\dfrac{g\left(x\right)-g\left(a\right)}{x-a}
f\left(x\right) est donc le taux d'accroissement de la fonction g entre a et x.
Pour tout réel x différent de 1, f\left(x\right) peut s'écrire sous la forme du taux d'accroissement de la fonction exp entre 1 et x.
Quelle valeur de la limite suivante peut-on en déduire ?
\lim\limits_{x \to 1}f\left(x\right)
La fonction \exp est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x :
\left(\exp\right)^{'}\left(x\right)=\exp\left(x\right)=e^x
Donc, la fonction \exp est dérivable en 1 et :
\left(\exp\right)^{'}\left(1\right)=\exp\left(1\right)=e
Le taux d'accroissement de la fonction exp entre 1 et x tend donc vers e quand x tend vers 1, soit :
\lim\limits_{x \to 1}\dfrac{\exp\left(x\right)-\exp\left(1\right)}{x-1}=e
D'après le résultat de la question précédente, on peut conclure :
\lim\limits_{x \to 1}f\left(x\right)=e